Bernoulli Prensibi (Bernoulli Denklemi)

Bernoulli Prensibi (Bernoulli Denklemi)

MsXLabs.org

Bernoulli Yasası; Akışkanların hareketlerini ve bu hareketler sırasında, bu akım borusunun içindeki hız, basınç ve yükseklikler arasındaki ilişkileri açıklayan yasadır. Hollandalı matematikçi Daniel Bernoulli’nin (1700-1782) koyduğu yasa, her biri bir uzunluk boyutuna sahip üç terimin toplamından oluşan bir denklemle tanımlanır.
Bu üç terim sırasıyla:

1) Hız yüksekliği ya da akışkanın, akım borusu içindeki bir noktada v hızını kazanabilmesi için, harekete başladığı yükseklik;
2) Basınç yüksekliği ya da akım borusu içindeki bir noktada p hidrostatik basıncının oluşması için gerekli, durgun bir sıvı sütunun yüksekliği;
3) Söz konusu noktanın akım borusu içindeki yüksekliği.

Bernoulli yasasına göre bu üç yüksekliğin toplamı değişmez. Bernoulli yasasını tanımlayan denklem, ancak ideal ve sıkıştırılamayan sıvıların akışları durumunda tam doğru sonuçlar verir. Gerçek sıvıların akışında ise sürtünme etkileri nedeniyle yaklaşık sonuçlara götürür. Bernoulli denklemi, bir akışkanın akım çizgileri boyunca enerjinin korunumu ilkesi uygulanarak bulunur. Buna bağlı olarak yasa, şöyle tanımlanabilir. İdeal bir sıvının akışı durumunda, aynı bir akım çizgisi içinde bulunan her noktadaki hareket enerjisi (kinetik enerji), basınç ve durum enerjisinin (potansiyel enerji) toplamı değişmez. Sonuç olarak bir akım borusu içindeki akışkanın basıncı, hızın büyük olduğu kesitlerde küçüktür; çünkü hızın büyük olduğu yerlerde akım çizgileri sıklaşır ve basınç düşer.
Bernoulli prensibinin en basit hali sıkıştırılamaz akımlar (örn. çoğu sıvı akımlar) ve düşük Mach sayısında hareket eden sıkıştırılabilir akımlar (örn. gazlar) için geçerlidir.

Bernoulli prensibi, enerjinin korunumu yasasından çıkarılabilir. Buna göre sabit bir akımda, bir yolda hareket eden akışkanın sahip olduğu tüm mekanik enerjilerin toplamı yine bu yol üzerindeki her noktada eşittir. Bu ifade kinetik ve potansiyel enerji toplamlarının sabit olduğunu ifade eder. Bu yüzden akışkanın hızındaki herhangi bir artış, akışkanın dinamik basıncını ve kinetik enerjisini orantılı olarak artırırken statik basıncını ve potansiyel enerjisini düşürür.

Bernoulli prensibi, direkt olarak Newton'ın ikinci yasasından da elde edilebilir. Eğer küçük hacimli bir akışkan yatay olarak yüksek basınçlı bölgeden düşük basınçlı bölgeye doğru ilerliyorsa, arkada; önde olduğundan daha fazla basınç var demektir. Bu, akışkan üzerinde net bir kuvvet uygulayarak akım çizgisi boyunca hızlanmasını sağlar.

Bernoulli yasası, bir gaz ya da sıvı akışkanın akım yolu üzerinde, bu akışı engelleyen bir cisim bulunduğu zaman önem kazanır. Bu durumda akışkan ve cisim birbirine göre hareket ederler. Akış sırasında ortaya çıkan basınç kuvvetleri engelin, akım yolu üzerinde hareketsiz durmasına ya da durgun bir sıvı içerisinde hareket etmesine bağlı değildir. Yasa her iki durumda da aynı sonucu verir.
Sıvı ya da gaz halindeki akışkanların ya da bu ortamlar içindeki cisimlerin hareketleri sırasında gözlenen birçok olay, Bernoulli yasasıyla açıklanır.
Örneğin bir musluktan akan suya parmağımızı değdirdiğimizde su, parmağımıza doğru sapar. Çünkü suyun akış hızı parmağa değdiği yerde artar, akım çizgileri sıklaşır ve basınç düşer. Böylece su daha büyük olan hava basıncının etkisiyle parmağa doğru ittirilir.

Eğer çeşmenizi suyu biraz yavaş akıtacak şekilde açarsanız, görürsünüz ki su çeşmenin ağzından çıktığı kalınlığını koruyamaz ve alçaldıkça iyice incelir.
Bunun nedeni su damlalarının yer çekimi dolayısı ile gittikçe hızlanması ve bir de Bernoulli İlkesi'dir. Buna göre: "Bir akışkanın aktığı yöne dik kesit alanı ile hızının çarpımı değişmez." Buna süreklilik denklemi de denir.
Su çeşmenin ağzını terkettikten sonra, yer çekimi su damlacıklarını gittikçe hızlandırır. Hızlanan su damlacıkları da Bernoulli İlkesi'ne uyar ve kesit alanlarını küçültmeleri yani daralmaları gerekir. İşte bu yüzden su çeşmeden çıktığı kalınlığı koruyamaz. Su damlaları arasındaki tutma (kohezyon) kuvvetleri nedeniyle ayrılmazlar. Bu yüzden su aynı kalınlıkta ve seyrelerek değil, birlikte ve ince akar.

Yüksekçe bir yerden bırakılan bir kâğıt tabakasının düşerken yalpalaması; birer iple biraz aralıklı olarak asılmış iki küre arasından üflendiğinde, bu kürelerin birbirine yaklaşması; hızlı hareket eden taşıtların, geçtiği yerlerdeki hafif cisimleri kendine doğru çekmesi; zıt yönlerde hareket eden iki taşıtın karşılaştıkları sırada birbirine doğru itilmesi; içinden su akan bir hortumun, suyun dışarıya aktığı ucunun gelişi güzel hareketler yapması, Bernoulli yasasıyla açıklanan olaylardan yalnızca birkaçıdır.
Teknik uygulamada uçak ve öteki hava taşıtlarının modelleri, önce rüzgâr kanallarında denenir. Bu denemelerde kanal içinde hareketsiz duran model güçlü bir hava akımının etkisine bırakılarak “aerodinamik yapısı”nın Bernoulli denklemine uygunluğu incelenir. Aynı işlem, otomobil ve öteki kara taşıtlarına da uygulanır. Gemi yapımında da gemi modelleri, aynı amaçla su kanallarında denenir. Bu deneylerde gemi modelleri, kanalda bulunan durgun suda yüzdürülür. Akışkanlardaki hidrodinamik basınçları ve akış hızlarını ölçen borular, bu yasaya uygun olarak çalışır.

Sıkıştırılamaz akım denklemi

Bernoulli sıvılar üzerinde deneyler yapmıştır ve denklemi de yalnızca sıkıştırılamaz akımlar için geçerlidir. Bernoulli denkleminin yaygın bir hali aşağıdaki gibidir (Yer çekimi sabit):

Bu denklemde:

• v= akım çizgisinde, seçilen noktadaki akışkan hızı,
• g= yer çekimi,
• z= referans düzlemi üzerindeki elevasyon (düşü)
• p= seçilen noktadaki basınç
• ρ= yoğunluk

Bernoulli denkleminin uygulanabilmesi için aşağıdaki varsayımlar karşılanmalıdır:

• Akım sıkıştırılamaz olmalıdır; basınç değişse bile, akım çizgisi boyunca yoğunluk sabit kalmalıdır.
• Viskoz kuvvetlerinin yarattığı sürtünme ihmal edilebilir olmalıdır.

İlk denklem, akışkanın yoğunluğuyla ρ çarpılarak aşağıdaki ifadeler elde edilebilir.

ya da:

Bu denklemde:

dinamik basınç,
hidrolik yükseklik (z düşü ve basınç yüksekliği toplamı) toplam basınç (staik basınç p ve dinamik basınç q toplamı).

Bernoulli denkleminin basitleştirilmiş versiyonu

Burada;

• ρ= Özkütle,
• V= Akışkanın hızı,
• P= Basınç'tır.

Not: Bu formülde özkütle, hız ve basınç büyüklüklerinin birimlerinde yer alan uzunluk, kütle ve zaman birimleri, aynı cinsten olmalıdır.

Bakınız

Daniel Bernoulli kimdir?

Bernoulli İlkesi!

Bernoulli prensibi, 'Bir boruda akan akışkanın süratinin arttığı noktalarda basınç düşmesi olur.' seklinde tanımlanmış bir ilkedir. Bu bağlamda ilgili borunun kesitinin daraldığı yerde akışkanın hızı artar ve hızlar arasında daralan kesit paralelinde bir sıralama söz konusu olur. Kesit ne kadar dar ise akışkan hızı da aynı derecede fazladır. Basınç ise tam tersi kesit genişledikçe artar ve basıncın büyük olduğu yerde de akışkan yüksekliği daha fazladır.