Diferansiyel Denklemler ve Diferansiyel Denklemlerin Tarihsel Gelişimi

Diferansiyel Denklemler

Sponsorlu Bağlantılar

Bağımsız değişken(ler), bilinmeyen fonksiyon ve bu fonksiyonun türevlerini içeren eşitlikler.

Fonksiyon tek değişkenliyse diferansiyel denklem bayağı, çok değişkenliyse kısmi türevli adını alır. En çok türetilmiş terimin basamağı (mertebesi) diferansiyel denklemin basamağı, en yüksek basamaktan türevin derecesiyse diferansiyel denklemin derecesidir.

Örneğin (y")3 + y' = x2 bayağı diferansiyel denklemi ikinci basamaktan ve üçüncü derecedendir. Doğadaki birçok sistemin davranışı bir diferansiyel denklemle gösterilebilir. Dolayısıyla diferansiyel denklemler özellikle fizik ve mekanikte önem taşır. Örneğin, ucuna noktasal bir m kütlesi asılı ve esneklik katsayısı k olan bir yay denge durumundan A kadar çekilip bırakıldığında, uzanımın zamana (t) göre nasıl değiştiğini bulma problemi bir diferansiyel denklemle çözülebilir. Gerekli değişken dönüştürmeleri sonucunda elde edilen y" + y = O ikinci basamaktan lineer diferansiyel denklemi başlangıç koşullarına göre çözülürse y = A cos ak/mt bulunur ki, bu fonksiyon gerçekten maddesel noktanın devirli davranışını verir.

Dinamik Sistemler Teorisi ve Kaos!

Diferansiyel denklemlerde ana hatlarıyla belirtildiği gibi klasik analiz yöntemleri sınırlamalara sahiptir. Örneğin, Güneş sisteminin hareketini tanımlayan diferansiyel denklemler güç serileriyle çözümler kabul etmez. En nihayetinde, Güneş sisteminin dinamikleri, güç dizileri gibi basit, iyi huylu nesnelerle yakalanmak için çok karmaşıktır. En önemli modern kuramsal gelişmelerden biri, herhangi bir açık çözüm yazmadan genel prensiplerden çözümlerin genel özelliklerini oluşturmayı amaçlayan dinamik sistemler teorisi olarak bilinen diferansiyel denklemlerin nitel kuramı olmuştur. Dinamik sistemler teorisi, özel ilgi noktaları etrafında küçük “mahallelerde” toplanan yerel analitik bilgileri, tüm olası çözümlerin ya da yolların yer aldığı manifoldun şekli ve yapısının küresel geometrik ve topolojik özellikleri ile birleştirir (Ayrıca, uzay veya faz uzayı olarak da bilinen bir manifold, kavisli bir yüzeyin çok boyutlu benzetimidir.) Bu yaklaşım, bilgisayarları, çözüme yaklaşmak için kullanan sayısal yöntemlerle birlikte kullanıldığında özellikle güçlüdür.

Diferansiyel denklemlerin nitel teorisi, 19. yüzyılın sonlarında Fransız matematikçi Henri Poincaré'nin beyni idi. Dinamik sistem teorisinin geliştirilmesine yönelik büyük bir teşvik, 1885'te İsveç Kralı II. Ve Norveç tarafından Güneş sisteminin istikrarının belirlenmesi sorununun çözümü için verilen bir ödüldür. Sorun esasen şu şekilde ifade edildi: Güneş sisteminin gezegenleri şu anda olduğu gibi aynı düzenlemede sonsuza kadar devam edecek mi? Ya da Güneş sisteminden tamamen çıkmış veya Güneş'le çarpışan bir gezegen gibi dramatik bir şey olabilir mi? Matematikçiler zaten bu tür soruları cevaplandırırken, söz konusu soruların cevaplandırılmasında önemli zorlukların ortaya çıktığını biliyordu. Newton kütle çekimi altında hareket eden iki cisim için, diferansiyel denklemi çözmek ve hareketleri için kesin bir formül çıkarmak mümkündür. Newton, bu hesaplamayı, yer çekimi yörüngesindeki yerküre yasasının Kepler'in gezegensel yörüngelerin eliptik olduğunu keşfettiğini gösterdiğini gösterdiğinde gerçekleştirdi.

Bugün kaos terimi Poincaré’nin keşfine gönderme yapmak için kullanılıyor. 1930'larda ve 40'larda sporadik olarak ve 1960'larda artan sıklıkta, matematikçiler ve bilim adamları basit diferansiyel denklemlerin bazen çok karmaşık çözümlere sahip olabileceğini fark etmeye başladılar. Amerikalı matematikçi Stephen Smale, Poincaré'nin diferansiyel denklemlerin kalitatif özellikleri hakkındaki anlayışını geliştirmeye devam ederken, bazı durumlarda çözümlerin davranışının da tesadüfi olduğunu kanıtladı. Denklemlerde herhangi bir rastlantısallık ipucu olmadığında bile, çözümlerdeki gerçek rastlantısal unsurlar olabilir. Andrey Kolmogorov ve Vladimir Arnold'un altındaki Rus dinci okulu aynı zamanda benzer fikirler geliştirdi.

Bu keşifler, belirli başlangıç koşullarından başlayarak, yalnızca doğanın sabit yasalarının sonuçlarını ortaya koyan bir “saat evreni” fikrine, determinizmin klasik görüşüne meydan okuyordu. 20. yüzyılın sonunda, Poincaré’nin kaos keşfi, matematikte, uygulamalı bilimin birçok alanıyla bağlantılı büyük bir disipline dönüşmüştü. Kaos sadece gezegenlerin hareketinde değil, hava koşullarında, hastalık salgınlarında, ekolojide, akışkan akışında, elektrokimyada, akustikte, hatta kuantum mekaniğinde bulunmuştur. Dinamik olarak yeni bir bakış açısının - kaos teorisi olarak bilinen ancak dinamik sistemler teorisinin bir alt disiplini olarak bilinen - en önemli özelliği, pek çok sürecin öngörülemez olduğunun fark edilmesi değildir. Daha ziyade, görünüşte rastgele davranışlardan yararlı bilgilerin çıkarılması için bir dizi yeni tekniklerin geliştirilmesidir. Bu doğrultuda kaos teorisi, Ay'a veya uzaktaki kuyruklu yıldızlara, yeni katı hal lazerlerine, hava durumunu tahmin etmenin yeni yollarına ve bu tahminlerin doğruluğunu tahmin etmeye yönelik yeni ve daha etkili yöntemler göndermek için yeni ve daha etkili yolların keşfine yol açmıştır.

Kaynak: AnaBritannica