Matematikte Olasılığın Tarihi
Ziyaretçi
Bugünkü anlamıyla istatistik ve olasılığın konusu başlıca;
=> Şans oyunları
=> İnsan hayatı ve ölçümlerine ilişkin biriken kayıtlardan kaynaklanır.
Bu kaynakların her ikisi de, gerçekten tanımlanabilir biçimde, onyedinci yüzyılın ortalarından itibaren ortaya çıkar .Klasik olasılık kavramı bu kaynakların ilkinden, deneysel olasılık kavramı ise isatistikler üzerine kurulu ikinci kaynağa bağlı olarak gelişmiştir.
1650 yıllarında kumar fransız toplumunda çok yaygındı. Zar, kart, para atışı, rulet gibi oyunlar oldukça gelişmişti. Paraya olan ihtiyacın artması bazı formüllerle kumar şansının hesaplanacbileceği düşüncesini getirdi.Méré gibi etkili, sözü geçen kumarbazlar Pascal, Fermat ve daha sonra d’Alembert ve De Moivre gibi zamanın önde gelen matematikçilerinin bu konuda yardımcı olabileceğini düşündüler. Matematikçilerin problemi benimsemesiyle klasik olasılık konusu şekillendi.
Olasılığın (prior) tanımı 1654 yılında Pascal ve Fermat arasındaki yazışmalarda formüle edildi. Huygens 1657 yılında konuyla ilgili ilk bilimsel eseri yayınladı. Meşhur Bernoulli teoremi ve binom dağılımı 1713 yılında ortaya atıldı. Olasılıkların çarpılması kuralı başlığıyla bilinen genel teorem de Moivre tarafından 1718 yılında öne sürüldü ve 1733’den 1738’e kadar normal olasılık dağılımı ve merkezi limit teoreminin bir özel durumu yine aynı matematikçi tarafından tartışıldı. Normal dağılışla ilgili daha ileri gelişmeler Gauss tarafından gerçekleştirildi. Aşağı yukarı aynı zamanlarda “En Küçük Kareler” kuralı Legendre tarafından formülleştirildi. Laplace 1812 yılında şans oyunlaryla ilgili matematiksel teorinin tam bir özetini verdi. 1812 yılından hemen sonra ise klasik matematikçilerle olan temas bir bakıma kaybolmuştu. Konuya ilişkin daha sonraki gelişmeler teorik ve uygulamalı alanlarda çalışan istatikçiler tarafından gerçekleştirildi. Gaunt’ın 1662 yılında İngiltere’deki hayat ve ölüm kayıtlarını yayınlaması olasılığın ve deneysel olasılığın bugünkü biçimine dönüşmesinde ilk adım oldu.
Birkaç yıl sonra bu kayıtlar ve bunlarla ilgili yorumlar Halley tarafından önemli derecede geliştirildi. Halley’e bazen bu nedenle istatisliğin babası bile dendi.İstatistik 200 yıllık bir zaman süresince çok fazla ilerleme sağlamadan gelişimini surdürdü. 1920 yılında matematikçilerle etkin temas tekrar sağlanarak ve bugun matematikteki gelişmelere bağlı olarak birçok yeni yeni uygulama alanı ile bu ilişki sürmektedir.Olasılık teorisinin başlangıcı ifade edildiği gibi şans oyunlarıyla ilgili fiziksel gözlemlerde yatmaktadır. Yansız bir para biriminden bağımsız olarak bir çok kez atıldığında yazıların göreli sıklığının, yani tüm atışlar sonunda gözlenen toplam yazı sayısının toplam atış sayısın oranının ½ sayısına yakın olmasının çok muhtemel olduğu bulunmuştur. Benzer şekilde iyice karıştırılmış 52’lik oyun oyun kağıdı destesinden bir kağıt cekilip, bu kağıdı desteye koyup desteyi tekrar kurarak kağıt çekme işlemi aynı koşullarda birçok kez tekrar edilirse, desteden elde edilen maça sayısının tüm çekiliş sayısına oranının, yani maçaların göreli sıklığının ¼ sayısına yakınsadığı görülür.
Kart demetinde tek kart seçildiğinde 52 mümkün sonuç vardır. Sonuçlardan herhangi birini diğerinden farklı kılacak bir sebep olmadığından konuyla ilk ilgilenenler uygun sonuçların bütün mümkün sonuçlara oranını, yani 52’lik destede toplam 13 maça olduğundan 13/52 veya 1/4’ü bir maça elde etme olasılığı olarak adlandırılır.
Olasılığın klasik tanımı olarak bilinen ve bir olayın olasılığının tüm meydana gelişler eşit şanslı olduğunda olayla ilgili sonuçların sayısının tüm mümkün sonuçlara oranı olarak veren tanım kısıtlayıcı ve kısır döngülüdür. Tanım sırasında “eşit şanslı” diye olasılığı tanımlarken olasılık kavramı kullanılmaktadır. Bu nedenle bu düşünceyi olasılık teorisinin temeli olarak alamayız. Bununla beraber olasılık teorisiyle ilk ilgilenenler yine de geçerli ve faydalı sonuçlara ulaşmışlardır.
Benzer şekilde, olasılığın göreli sıklık tanımı da problem yaratacaktır. Sn n bağımsız denemede bir olayın meydana gelişlerinin sayısı ise, fiziksel olarak Sn/n göreli sıklığın bir limite yakınsayacağı beklenir. Bununla beraber limitin varlığı matematiksel anlamda ileri sürülemez. Yansız bir paranın birbirinden bağımsız birçok kez atılması durumunda Sn/n oranının 1/2 değerine yakınsaması beklendiği halde, paranın daima yazı gelmeside akla uygun bir sonuçtur. Bir başka değişle Sn/n oranın 0 ile 1 arasında bir sayıya yakınsaması ya da Sn/n oranının bir limiti olması da mümkündür.
Olasılık teorisinin matematiksel olarak gelişirken rastgele deneyin tüm mümkün sonuçlarının oluşturduğu örnek uzayı denen W gibi bir küme tanımına ihtiyaç duyulur. Doğal olarak farklı deneyler için W da farklı olur. Bir zar atıldığında W ={1, 2, 3, 4, 5, 6 }dır. Bununla beraber aynı deneye bağlı olarak her atışta çift (Ç) veya tek ( T ) sayı elde edilmesi ile ilgiliysek W = {Ç, T}dir. Görüldüğü gibi aynı deney için ilgilendiğimiz sonuçlara bağlı olarak farklı örnek uzayları da tanımlanabilmektedir.
Genel olarak her deneyin sonucu örnek uzayı W da bir tek noktaya karşı gelmelidir. Sonuçları önceden tahmin edilemeyen bir deneyin (rastgele deney) uygulanması ile oluşturulan örnek uzayının her alt kümesi bir olaydır. Bir olayı belirten A kümesindeki her nokta A olayına uygun bir sonucu ifade eder. Buradan hareketle her deneyin sonucu örnek uzaydaki bir noktaya karşı geleceğinden W ya kesin olay, örnek uzayının dışındaki bir olaya ise imkansız olay denir. İmkansız olay örnek uzayındaki noktaları içermediğinden boş küme Æ ile belirtilir. W’nın bütün alt kümelerini olay olarak nitelemek her zaman mümkün olmayabilir. W’daki bir noktaya ilişkin sonuçtaki bazı bilgileri atabilir veya ölçemeyebiliriz.O zaman cıkarılan veya eksik olan bu bilgiye bağlı olarak A olayının meydana gelmesi hakkıda karar verilemiyebilir.Örneğin bir para 5 kez atıldığında sadece ilk 3 atıştakı sonuçlar kaydedilmiş olsun .Bu durumda A={en az dört yazı}ölçülemez. Olasılığın kümesel cebirine bağlı olarak geliştirilmesi küme kavramı ve kümeler cebirinin incelenmesine bağlı olduğundan daha sonraya bırakılmıştır.
Olasılığın genel konusu
=> Matematiksel
=> İstatistiksel verilerin ölçümleri
=> Doğa teorisi
=> Bilginin kendi teorisinin bir karışımıdır.
Bu nedenle bu konuda bilgisini genişletmek isteyen herkez kaçınılmaz olarak bunların tümünü kapsayacak bir gelişmenin zorunlu olduğun görür. Dolayısı ile olasılık teorisine girişte matematiğin bazı temel konularına değinmek, aksiyomatik yapıyı kurup bunu geliştirmemizde bize yardımcı olcaktır. Bu nedenle ilk olarak küme kavramı bu küme cebiri, kartezyen çarpımlar, fonksiyon kavramı ve kümelerin sayılabilirliği konularına değindikten sonra olasılık kavramı ele alınacak, olasılık uzaylarına kadar olan bir gelişime yer verecektir.
=> Şans oyunları
Sponsorlu Bağlantılar
Bu kaynakların her ikisi de, gerçekten tanımlanabilir biçimde, onyedinci yüzyılın ortalarından itibaren ortaya çıkar .Klasik olasılık kavramı bu kaynakların ilkinden, deneysel olasılık kavramı ise isatistikler üzerine kurulu ikinci kaynağa bağlı olarak gelişmiştir.
1650 yıllarında kumar fransız toplumunda çok yaygındı. Zar, kart, para atışı, rulet gibi oyunlar oldukça gelişmişti. Paraya olan ihtiyacın artması bazı formüllerle kumar şansının hesaplanacbileceği düşüncesini getirdi.Méré gibi etkili, sözü geçen kumarbazlar Pascal, Fermat ve daha sonra d’Alembert ve De Moivre gibi zamanın önde gelen matematikçilerinin bu konuda yardımcı olabileceğini düşündüler. Matematikçilerin problemi benimsemesiyle klasik olasılık konusu şekillendi.
Olasılığın (prior) tanımı 1654 yılında Pascal ve Fermat arasındaki yazışmalarda formüle edildi. Huygens 1657 yılında konuyla ilgili ilk bilimsel eseri yayınladı. Meşhur Bernoulli teoremi ve binom dağılımı 1713 yılında ortaya atıldı. Olasılıkların çarpılması kuralı başlığıyla bilinen genel teorem de Moivre tarafından 1718 yılında öne sürüldü ve 1733’den 1738’e kadar normal olasılık dağılımı ve merkezi limit teoreminin bir özel durumu yine aynı matematikçi tarafından tartışıldı. Normal dağılışla ilgili daha ileri gelişmeler Gauss tarafından gerçekleştirildi. Aşağı yukarı aynı zamanlarda “En Küçük Kareler” kuralı Legendre tarafından formülleştirildi. Laplace 1812 yılında şans oyunlaryla ilgili matematiksel teorinin tam bir özetini verdi. 1812 yılından hemen sonra ise klasik matematikçilerle olan temas bir bakıma kaybolmuştu. Konuya ilişkin daha sonraki gelişmeler teorik ve uygulamalı alanlarda çalışan istatikçiler tarafından gerçekleştirildi. Gaunt’ın 1662 yılında İngiltere’deki hayat ve ölüm kayıtlarını yayınlaması olasılığın ve deneysel olasılığın bugünkü biçimine dönüşmesinde ilk adım oldu.
Birkaç yıl sonra bu kayıtlar ve bunlarla ilgili yorumlar Halley tarafından önemli derecede geliştirildi. Halley’e bazen bu nedenle istatisliğin babası bile dendi.İstatistik 200 yıllık bir zaman süresince çok fazla ilerleme sağlamadan gelişimini surdürdü. 1920 yılında matematikçilerle etkin temas tekrar sağlanarak ve bugun matematikteki gelişmelere bağlı olarak birçok yeni yeni uygulama alanı ile bu ilişki sürmektedir.Olasılık teorisinin başlangıcı ifade edildiği gibi şans oyunlarıyla ilgili fiziksel gözlemlerde yatmaktadır. Yansız bir para biriminden bağımsız olarak bir çok kez atıldığında yazıların göreli sıklığının, yani tüm atışlar sonunda gözlenen toplam yazı sayısının toplam atış sayısın oranının ½ sayısına yakın olmasının çok muhtemel olduğu bulunmuştur. Benzer şekilde iyice karıştırılmış 52’lik oyun oyun kağıdı destesinden bir kağıt cekilip, bu kağıdı desteye koyup desteyi tekrar kurarak kağıt çekme işlemi aynı koşullarda birçok kez tekrar edilirse, desteden elde edilen maça sayısının tüm çekiliş sayısına oranının, yani maçaların göreli sıklığının ¼ sayısına yakınsadığı görülür.
Kart demetinde tek kart seçildiğinde 52 mümkün sonuç vardır. Sonuçlardan herhangi birini diğerinden farklı kılacak bir sebep olmadığından konuyla ilk ilgilenenler uygun sonuçların bütün mümkün sonuçlara oranını, yani 52’lik destede toplam 13 maça olduğundan 13/52 veya 1/4’ü bir maça elde etme olasılığı olarak adlandırılır.
Olasılığın klasik tanımı olarak bilinen ve bir olayın olasılığının tüm meydana gelişler eşit şanslı olduğunda olayla ilgili sonuçların sayısının tüm mümkün sonuçlara oranı olarak veren tanım kısıtlayıcı ve kısır döngülüdür. Tanım sırasında “eşit şanslı” diye olasılığı tanımlarken olasılık kavramı kullanılmaktadır. Bu nedenle bu düşünceyi olasılık teorisinin temeli olarak alamayız. Bununla beraber olasılık teorisiyle ilk ilgilenenler yine de geçerli ve faydalı sonuçlara ulaşmışlardır.
Benzer şekilde, olasılığın göreli sıklık tanımı da problem yaratacaktır. Sn n bağımsız denemede bir olayın meydana gelişlerinin sayısı ise, fiziksel olarak Sn/n göreli sıklığın bir limite yakınsayacağı beklenir. Bununla beraber limitin varlığı matematiksel anlamda ileri sürülemez. Yansız bir paranın birbirinden bağımsız birçok kez atılması durumunda Sn/n oranının 1/2 değerine yakınsaması beklendiği halde, paranın daima yazı gelmeside akla uygun bir sonuçtur. Bir başka değişle Sn/n oranın 0 ile 1 arasında bir sayıya yakınsaması ya da Sn/n oranının bir limiti olması da mümkündür.
Olasılık teorisinin matematiksel olarak gelişirken rastgele deneyin tüm mümkün sonuçlarının oluşturduğu örnek uzayı denen W gibi bir küme tanımına ihtiyaç duyulur. Doğal olarak farklı deneyler için W da farklı olur. Bir zar atıldığında W ={1, 2, 3, 4, 5, 6 }dır. Bununla beraber aynı deneye bağlı olarak her atışta çift (Ç) veya tek ( T ) sayı elde edilmesi ile ilgiliysek W = {Ç, T}dir. Görüldüğü gibi aynı deney için ilgilendiğimiz sonuçlara bağlı olarak farklı örnek uzayları da tanımlanabilmektedir.
Genel olarak her deneyin sonucu örnek uzayı W da bir tek noktaya karşı gelmelidir. Sonuçları önceden tahmin edilemeyen bir deneyin (rastgele deney) uygulanması ile oluşturulan örnek uzayının her alt kümesi bir olaydır. Bir olayı belirten A kümesindeki her nokta A olayına uygun bir sonucu ifade eder. Buradan hareketle her deneyin sonucu örnek uzaydaki bir noktaya karşı geleceğinden W ya kesin olay, örnek uzayının dışındaki bir olaya ise imkansız olay denir. İmkansız olay örnek uzayındaki noktaları içermediğinden boş küme Æ ile belirtilir. W’nın bütün alt kümelerini olay olarak nitelemek her zaman mümkün olmayabilir. W’daki bir noktaya ilişkin sonuçtaki bazı bilgileri atabilir veya ölçemeyebiliriz.O zaman cıkarılan veya eksik olan bu bilgiye bağlı olarak A olayının meydana gelmesi hakkıda karar verilemiyebilir.Örneğin bir para 5 kez atıldığında sadece ilk 3 atıştakı sonuçlar kaydedilmiş olsun .Bu durumda A={en az dört yazı}ölçülemez. Olasılığın kümesel cebirine bağlı olarak geliştirilmesi küme kavramı ve kümeler cebirinin incelenmesine bağlı olduğundan daha sonraya bırakılmıştır.
Olasılığın genel konusu
=> Matematiksel
=> İstatistiksel verilerin ölçümleri
=> Doğa teorisi
=> Bilginin kendi teorisinin bir karışımıdır.
Bu nedenle bu konuda bilgisini genişletmek isteyen herkez kaçınılmaz olarak bunların tümünü kapsayacak bir gelişmenin zorunlu olduğun görür. Dolayısı ile olasılık teorisine girişte matematiğin bazı temel konularına değinmek, aksiyomatik yapıyı kurup bunu geliştirmemizde bize yardımcı olcaktır. Bu nedenle ilk olarak küme kavramı bu küme cebiri, kartezyen çarpımlar, fonksiyon kavramı ve kümelerin sayılabilirliği konularına değindikten sonra olasılık kavramı ele alınacak, olasılık uzaylarına kadar olan bir gelişime yer verecektir.
Son düzenleyen asla_asla_deme; 12 Haziran 2012 15:08
Sebep: Sayfa Düzeni
