Çarpanlara Ayırma

A. ORTAK ÇARPAN PARANTEZİNE ALMA

Sponsorlu Bağlantılar

A(x) . B(x) ± A(x) . C(x) = A(x) . [B(x) ± C(x)]
En az dört terimi olan ifadeler ortak çarpan parantezine alınacak biçimde gruplandırılır, sonra ortak çarpan parantezine alınır.,

B. ÖZDEŞLİKLER

1. İki Kare Farkı - Toplamı
i. a2–b2=(a–b)(a+b)
ii. a2+b2=(a+b)2–2ab ya da
a2+b2=(a–b)2+2ab dir.

2. İki Küp Farkı - Toplamı
i. a3–b3=(a–b)(a2+ab+b2)
ii. a3+b3=(a+b)(a2–ab+b2)
iii. a3–b3=(a–b)3+3ab(a–b)
iv. a3+b3=(a+b)3–3ab(a+b)

3. n. Dereceden Farkı - Toplamı
i) n bir sayma sayısı olmak üzere,
xn – yn = (x – y) (xn – 1 + xn – 2 y + xn – 3 y2 + ... + xyn – 2 + yn – 1) dir.
ii) n bir tek sayma sayısı olmak üzere,
xn + yn = (x + y) (xn – 1 – xn – 2y + xn – 3 y2 – ... – xyn – 2 + yn – 1) dir.

4. Tam Kare İfadeler
i. (a + b)2 = a2 + 2ab + b2
ii. (a – b)2 = a2 – 2ab + b2
iii. (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2(ab + ac + bc)
iv. (a + b – c)2 = a2 + b2 + c2 + 2(ab – ac – bc)
n bir tam sayı olmak üzere,
(a – b)2n = (b – a)2n
(a – b)2n – 1 = – (b – a)2n – 1 dir.,
(a + b)2 = (a – b)2 + 4a

5. (a ± b)n nin Açılımı

Pascal Üçgeni

(a + b)n açılımı yapılırken, önce a nın n . kuvvetten başlayarak azalan, b nin 0 dan başlayarak artan kuvvetlerinin çarpımları yazılıp toplanır.
Sonra n nin Paskal üçgenindeki karşılığı bulunarak katsayılar belirlenir.
(a – b)n yukarıdaki biçimde yapılır ancak b nin; çift kuvvetlerinde terimin önüne (+), tek kuvvetlerinde terimin önüne (– işareti konulur.
(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
(a – b)3 = a3 – 3a2b + 3ab2 – b3
(a + b)4 = a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 +b4
(a – b)4 = a4 – 4a3b + 6a2b2 – 4ab3 + b4
C. ax2 + bx + c Biçimindeki Üç Terimlisinin Çarpanlarına Ayrılması
1. a = 1 için,
b = m + n ve c = m . n olmak üzere,
x2 + bx + c = (x + m) (x + n) dir.

ÇARPANLARA AYIRMA
Msxlabs.org

ÖZDEŞLİKLER
İçerisinde bir ya da daha çok bilinmeyen bulunan ve bilinmeyenlerin her değeri için daima doğru olan eşitliklere özdeşlik denir.

n doğal sayı ve n ≥ 2 olmak uzere:

a2 – b2 = (a – b) (a + b)

a3 – b3 = (a – b) (a2 + ab + b2)

a4– b4 = (a – b) (a3 + a2 b + a b2 + b3)

an– bn = (a – b) (an–1 + an–2 b + an–3 b2 + … +abn–2 + bn–1)

a3+b3 = (a + b) (a2 – ab + b2)

a4+ b4 = (a +b) (a3 – a2 b + a b2 – b3)

an+ bn = (a – b) (an–1 - an–2 b + an–3 b2 … -abn–2 + bn–1)

İki terim toplamı kuvvetleri:

(a + b)0 = 1 (a + b ≠ 0)

(a + b)1 = a + b

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2 (Tam kare)

(a + b)3 = a3 + 3a2 b + 3ab2 + b3

İki terim toplamı kuvvetleri:

(a – b)0 = 1 (a – b ≠ 0)

(a – b)1 = a – b

(a – b)2 = a2 – 2ab + b2 (Tam kare)

(a – b)3 = a3 – 3a2 b + 3ab2 – b3



açılımlarda b yerine –b yazılırsa, b nin tek kuvvetlerini içeren terimleri işaretleri negatif ( –) olur.

a) a2 + b2 = (a + b)2 – 2ab

b) a2 + b2 = (a – b)2 + 2ab

c) (a + b)2 = (a – b)2 + 4ab

d) (a – b)2 = (a + b)2 – 4ab

e) a3 + b3 = (a + b)3 – 3ab(a + b)

f) a3 – b3 = (a – b)3 + 3ab(a – b)

Üç terim toplamının karesi:

(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc

ÇARPANLARA AYIRMA

Ortak Çarpan Parantezine Alma:

Verilen ifadenin her teriminden ortak çarpanlar bulunup bu ortak terim parantez dışına alınır.

ax + ba = a(x + b)

ÖRNEK:

(a + 1)(b – 1) – (b + 1)(a – 1) ifadesinin en sade şeklini bulalım.

ÇÖZÜM:

(a + 1)(b – 1) – (b + 1)(a – 1) = ab – a + b – 1 – (ab – b + a – 1)

= ab – a + b – 1 – ab + b – a + 1 = 2(b – a)

Gruplandırarak Çarpanlara Ayırma:

ÖRNEK:

x3 – 3x2 – x + 3 ifadesini gruplandırarak çarpanları cinsinde yazalım.

ÇÖZÜM:

x3 – 3x2 – x + 3

= x2(x – 3) – (x – 3)

= (x – 3)(x2 –1)

= (x – 3)(x – 1) (x + 1)

ÖRNEK:

a2 + 4b2 +9c2 = 73

a + 2b + 3c = 13

olduğuna göre, (2ab + 3ac +6bc) toplamının değeri kaçtır?

ÇÖZÜM:

a + 2b + 3c = 13 eşitliğinde her iki tarafın karesinialalım.

(a + 2b + 3c)2 = a2+4b2+9c2+2(2ab + 3ac + 6bc)

132 = 73 + 2(2ab + 3ac + 6bc)

169 – 73 = 2(2ab + 3ac + 6bc)

96 = 2 • (2ab + 3ac + 6bc)

2ab + 3ac + 6bc = 48 bulunur.

ÖRNEK:

a2 + b2 = 47

a • b = 11

olduğuna göre, (a – b) farkının pozitif değeri kaçtır?

ÇÖZÜM:

a2 + b2 = (a – b)2 + 2ab

47 = (a – b)2 + 2 • 11

47 – 22 = (a – b)2

25 = (a – b)2

(5)2 = (a – b)2 ⇒ a – b = 5 bulunur.


kaynak