Morera Teoremi
Ziyaretçi
Morera Teoremi
Matematiğin bir dalı olan karmaşık analizde, Giacinto Morera'nın arkasından adlandırılan Morera teoremi, bir fonksiyonun holomorfik olduğunu kanıtlamak için önemli bir ölçüttür.
Morera teoremi, karmaşık düzlem üzerindeki açık bir D kümesi üzerinde tanımlı, sürekli, karmaşık değerli ve D içindeki her kapalı C eğrisi için
ifadesini sağlayan bir f fonksiyonunun D üzerinde holomorfik olması gerektiğini ifade eder. Morera teoreminin varsayımı, f 'nin D üzerinde terstürevi olduğuna denktir.
Teoremin tersi genel anlamda doğru değildir. Holomorfik bir fonksiyon, ek varsayımlar konulmadıkça, tanım kümesi üzerinde terstüreve sahip olmak zorunda değildir. Örneğin, Cauchy integral teoremi, holomorfik bir fonksiyonun kapalı bir eğri üzerindeki çizgi integralinin ancak fonksiyonun tanım kümesinin basit bağlantılı olması durumunda sıfır olacağını ifade eder.
Kanıt
Görece olarak teoremin basit bir kanıtı vardır. f için açıkça bir terstürev oluşturulur. Ondan sonra teorem, holomorfik fonksiyonlar analitiktir gerçeğinden yola çıkılarak kanıtlanır.
Genellemeyi kaybetmeden, D 'nin bağlantılı olduğu varsayılabilir. D içinde bir a noktası sabitlensin ve D üzerinde aşağıdaki gibi karmaşık değerli bir F fonksiyonu tanımlansın:
Yukarıdaki integral, D içinde a 'dan b 'ye herhangi bir yol üzerinden alınabilir. Burada F fonksiyonu iyi tanımlıdır çünkü hipotez gereği f 'nin a 'dan b 'ye giden herhangi iki eğri boyunca integrali eşittir. Hesabın temel teoremi sayesinde F 'nin türevinin f olduğu görülür:
Özellikle, F holomorfiktir. O zaman f de holomorfik bir fonksiyonun türevi olduğu için holomorfiktir.
Uygulamalar
Morera teoremi karmaşık analizde standart bir araçtır. Bir holomorfik fonksiyon cebirsel olmayan bir yolla oluşturulacaksa, hemen hemen tüm argümanlarda Morera teoremi kullanılır.
Düzgün limitler
Örneğin, f1, f2, ... açık bir küme üzerinde sürekli bir f fonksiyonuna düzgün bir şekilde yakınsayan bir holomorfik fonksiyon dizisi olsun. Cauchy integral teoreminden her n için ve disk içinde kapalı her C eğrisi için
ifadesinin doğru olduğu görülür. Düzügün yakınsaklık sayesinde de her kapalı C eğrisi için
ifadesinin doğruluğu biliniyor. Bu yüzden, Morera teoreminden dolayı f holomorfik olmalıdır. Bu gerçek, aynı zamanda, herhangi açık bir Ω ⊆ C kümesi için, u : Ω → C şeklinde tanımlanan sınırlı ve analitik tüm fonksiyonların kümesi A(Ω) 'nın supremum norm'a göre bir Banach uzayı olduğunu göstermek için de kullanılabilir.
Sonsuz toplamlar ve integraller
Morera teoremi ayrıca Riemann zeta fonksiyonu
veya gama fonksiyonu
gibi toplamlar ve integraller yoluyla tanımlanmış fonksiyonların analitikliğini göstermek için de kullanılabilir.
Hipotezlerin zayıflatılması
Morera teoreminin hipotezleri epeyce zayıflatılabilir. Özellikle, D bölgesi içindeki her kapalı T üçgeni için
integralinin sıfır olması yeterlidir. Bu aslında, holomorfiyi ayırıcı bir niteliğe sokar, yani f ancak ve ancak yukarıdaki koşullar sağlanırsa holomorfiktir.
Sponsorlu Bağlantılar
Morera teoremi, karmaşık düzlem üzerindeki açık bir D kümesi üzerinde tanımlı, sürekli, karmaşık değerli ve D içindeki her kapalı C eğrisi için
ifadesini sağlayan bir f fonksiyonunun D üzerinde holomorfik olması gerektiğini ifade eder. Morera teoreminin varsayımı, f 'nin D üzerinde terstürevi olduğuna denktir.
Teoremin tersi genel anlamda doğru değildir. Holomorfik bir fonksiyon, ek varsayımlar konulmadıkça, tanım kümesi üzerinde terstüreve sahip olmak zorunda değildir. Örneğin, Cauchy integral teoremi, holomorfik bir fonksiyonun kapalı bir eğri üzerindeki çizgi integralinin ancak fonksiyonun tanım kümesinin basit bağlantılı olması durumunda sıfır olacağını ifade eder.
Kanıt
Görece olarak teoremin basit bir kanıtı vardır. f için açıkça bir terstürev oluşturulur. Ondan sonra teorem, holomorfik fonksiyonlar analitiktir gerçeğinden yola çıkılarak kanıtlanır.
Genellemeyi kaybetmeden, D 'nin bağlantılı olduğu varsayılabilir. D içinde bir a noktası sabitlensin ve D üzerinde aşağıdaki gibi karmaşık değerli bir F fonksiyonu tanımlansın:
Yukarıdaki integral, D içinde a 'dan b 'ye herhangi bir yol üzerinden alınabilir. Burada F fonksiyonu iyi tanımlıdır çünkü hipotez gereği f 'nin a 'dan b 'ye giden herhangi iki eğri boyunca integrali eşittir. Hesabın temel teoremi sayesinde F 'nin türevinin f olduğu görülür:
Özellikle, F holomorfiktir. O zaman f de holomorfik bir fonksiyonun türevi olduğu için holomorfiktir.
Uygulamalar
Morera teoremi karmaşık analizde standart bir araçtır. Bir holomorfik fonksiyon cebirsel olmayan bir yolla oluşturulacaksa, hemen hemen tüm argümanlarda Morera teoremi kullanılır.
Düzgün limitler
Örneğin, f1, f2, ... açık bir küme üzerinde sürekli bir f fonksiyonuna düzgün bir şekilde yakınsayan bir holomorfik fonksiyon dizisi olsun. Cauchy integral teoreminden her n için ve disk içinde kapalı her C eğrisi için
ifadesinin doğru olduğu görülür. Düzügün yakınsaklık sayesinde de her kapalı C eğrisi için
ifadesinin doğruluğu biliniyor. Bu yüzden, Morera teoreminden dolayı f holomorfik olmalıdır. Bu gerçek, aynı zamanda, herhangi açık bir Ω ⊆ C kümesi için, u : Ω → C şeklinde tanımlanan sınırlı ve analitik tüm fonksiyonların kümesi A(Ω) 'nın supremum norm'a göre bir Banach uzayı olduğunu göstermek için de kullanılabilir.
Sonsuz toplamlar ve integraller
Morera teoremi ayrıca Riemann zeta fonksiyonu
veya gama fonksiyonu
gibi toplamlar ve integraller yoluyla tanımlanmış fonksiyonların analitikliğini göstermek için de kullanılabilir.
Hipotezlerin zayıflatılması
Morera teoreminin hipotezleri epeyce zayıflatılabilir. Özellikle, D bölgesi içindeki her kapalı T üçgeni için
integralinin sıfır olması yeterlidir. Bu aslında, holomorfiyi ayırıcı bir niteliğe sokar, yani f ancak ve ancak yukarıdaki koşullar sağlanırsa holomorfiktir.
