Asal Çarpan Nedir? Çarpan Ağacı

Doğal Sayıların Çarpanlar ve Katları
Bir sayıyı tam bölen sayılara o sayının çarpanları denir. Bir sayının çarpanları aynı zamanda o sayının bölenleridir.

Örnek Soru
42 sayısının çarpanlarını çarpan ağacı yardımıyla bulalım.
Çözümü

42 sayısının çarpanları: 42, 21, 14, 7, 6, 3, 2 ve 1’dir.
42 sayısının bölenleri de çarpanları ile aynıdır.

Örnek Soru
18 sayısının çarpanlarını bulalım ve bu çarpanları büyükten küçüğe doğru sıralayarak eşleştirelim.

18 sayısının çarpanları: 18, 9, 6, 3, 2 ve 1’dir.


Bölünebilme Kuralları
2 ile Bölünebilme
Birler basamağında 0, 2, 4, 6, 8 rakamlarından biri olan sayılar 2 ile kalansız bölünür. Çift sayılar 2 ile kalansız bölünür. Tek sayılar 2 ile kalansız bölünemez.
Örnek
1 , 8 , 9 , 12 say›ları 2 ile kalansız bölünür.
Örnek
2 , 3 , 4 , 12 sayıları 2 ile kalansız bölünemez.

Örnek Soru
8a iki basamaklı sayısı 2 ile kalansız bölünebildiğine göre, a yerine gelebilecek rakamları bulalım.
Çözüm
8a sayısı 2 ile kalansız bölünebildiğine göre a sayısının yerine çift rakamlar gelmelidir. O halde, a yerine 0, 2, 4, 6 ve 8 gelebilir.

3 ile Bölünebilme
Rakamları toplamı 3 veya 3’ün katı olan sayılar 3 ile kalansız bölünür.

Örnek Soru
642 sayısının 3 ile kalansız bölünüp bölünmediğini inceleyelim.
Çözüm
642 sayısının rakamları toplamı 6 + 4 + 2 = 12’dir.
12 sayısı 3’ün katı olduğundan 642 sayısı 3 ile kalansız bölünür.

Örnek Soru
1984 sayısının 3 ile kalansız bölünüp bölünmediğini inceleyelim.
Çözüm
1984 sayısının rakamları toplamı 1 + 9 + 8 + 4 = 22’dir.
22 sayısı 3’ün katı olmadığından 1984 sayısı 3 ile kalansız bölünemez.

4 ile Bölünebilme
Son iki basamağı 00 veya 4’ün katı olan sayılar 4 ile kalansız bölünür.

Örnek
32, 204, 616, 728 sayıları 4 ile kalansız bölünür.
Örnek
26, 109, 414, 582 sayıları 4 ile kalansız bölünemez.

Örnek Soru
9824 sayısının 4 ile kalansız bölünüp bölünmediğini inceleyelim.
Çözüm
9824 sayısının son iki basamağı 24’tür. 24 sayısı 4 ile kalansız bölündüğünden 9824 sayısı da 4 ile kalansız bölünür.

6 ile Bölünebilme
Hem 2 hem de 3 ile kalansız bölünen sayılar 6 ile kalansız bölünür.

9 ile Bölünebilme
Rakamları toplamı 9 veya 9’un katı olan sayılar 9 ile kalansız bölünür.

Örnek Soru
549 sayısının 9 ile kalansız bölünüp bölünmediğini inceleyelim.
Çözüm
549 sayısının rakamları toplamı 5 + 4 + 9 = 18’dir.
18 sayısı 9’un katı oldu¤undan 549 sayısı 9 ile kalansız bölünür.

Çarpan Ağacı

Çarpan ağacı matematikte önemli yer alır, bir sayının hangi sayıların çarpımından oluştuğunu büyükten küçüğe doğru sıralar. Her sıradaki elemanlar çarpıldığında baştaki sayıyı verecektir. Bu işlemi asal çarpanlarına kadar devam ettirebiliriz .
Çarpan ağacı bir doğal sayının çarpanları, bölenleri ve katları nasıl bulunur evvelki konumuzda öğrendik. Şimdi ise esas sayılar nedir, bir sayı esas çarpanlarına nasıl ayrılır, çarpan ağacı ve bölen listesi nasıl yapılır öğreneceğiz.
ESAS SAYILAR
1 ve kendisinden yabancı hiç bir sayma sayısına tam bölünemeyen 1'den büyük doğal sayılara esas sayı denir. Başka bir anlatım ile çarpanları yalnızca 1 ve kendisi meydana gelen 1'den büyük doğal sayılardır. 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29... sayıları birer esas sayıdır.

ÖRNEK: 2, 5, 4, 15 sayılarından hangileri asaldır bulalım. 2 sayısı yalnızca 1 ve 2'ye kalansız bölünür. Bu yüzden esas sayıdır. 5 sayısı yalnızca 1 ve 5'e kalansız bölünür. Bu yüzden esas sayıdır. 4 sayısı 1'e, 2'ye ve 4'e kalansız bölünür. Bu yüzden esas sayı değildir. 15 sayısı 1'e, 3'e, 5'e ve 15'e kalansız bölünür. Bu yüzden esas sayı değildir.

ERATOSTHENES KALBURU 10 x 10'luk bir 100'lük tabloda 1'den 100'e denli meydana gelen esas sayıları bulabiliriz. Bunun amaçlı yapmamız gerekli meydana gelen ilk satırdaki esas sayıların kendileri dışındaki katlarına çarpı koymak. Geriye artan sayılar esas sayılardır.

Asal çarpanlara ayırma Bir doğal sayıyı esas çarpanlarına bölmek amaçlı iki yol kullanabiliriz. Bunlar çarpan ağacı ve bölen listesidir.

Çarpan ağacı: Çarpan ağacı nedir, nasıl yapılır görelim. Bir sayıyı iki sayının çarpımı biçimde yazarız (en minik esas sayıdan başlayabiliriz). ileri ki zamanlarda bulduğumuz sayıları esas sayı olana denli bu işleme devam ederiz. Meydana Gelen dalların uçlarındaki sayılar sayımızın esas çarpanlarıdır.

Not: Çarpan ağacında dalların uçlarındaki esas sayıların çarpımı, çarpanlarına ayırdığımız sayıyı verir.

Örnek: 36 sayısını çarpan ağacı kullanarak esas çarpanlarına ayıralım. 36 sayısının çarpanları : 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36'dır. Bunu bir sayının çarpanları konumuzda öğrenmiştik. Bu sayılardan esas sayı olanları esas çarpanlarımızdır.

ÖRNEK: 60 sayısını çarpan ağacı kullanarak esas çarpanlarına ayıralım. 60 sayısının çarpanları : 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 ve 60'tır. Bunu bir sayının çarpanları konumuzda öğrenmiştik. Bu sayılardan esas sayı olanları esas çarpanlarımızdır.

• SORU: Aşağıdaki çarpan ağaçlarında verilmeyen A, B ve C sayılarını bulunuz.
• ÇÖZÜM: Birinci çarpan ağacı örneğini beraber yapalım, artan çarpan ağacı örnekleri sizin olsun. Çarpan ağacında her sayı altındaki sayıların çarpımına eşittir. Alttan başlayarak A = 2.2 = 4 B = 2.4 = 8 C = 5.8 = 40 bulunur.

Eratosten Kalburu

Matematikte, Eratosthenes (Eratosten) Kalburu belirli bir tamsayıya kadar yer alan asal sayıların bulunması için kullanılan bir yöntemdir. Daha hızlı ve karmaşık olan Atkin kalburunun atası sayılır. Eski Yunan'da Eratosten tarafından geliştirilmiştir.

İşleyişi

1. Önce bir dizelgeye (listeye) 2'den başlayarak, istediğiniz en büyük tam sayıya kadar olan tüm tamsayıları yazın. Bu dizelgenin adı A olsun (resimdeki kutuların her biri).
2. Bir diğer dizelgeye A'daki ilk asal sayı olan 2'den başlayarak bulduğunuz asal sayıları yazın. Bu dizelgenin adı B olsun (resimin sağında bulunan dizelge).
3. A'dan 2'yi ve 2'nin tüm katlarını silin.
4. A'da kalan ilk tek sayı asaldır. Bu sayıyı B'ye ekleyin.
5. Bu sayıyı ve tüm katlarını A'dan silin. Daha küçük katları zaten silindiğinden, silme safhası bu sayının karesinden başlayabilir.
6. A dizelgesinde herhangi bir sayı kalmayıncaya kadar 4. ve 5. adımları tekrarlayın.

ASAL ÇARPANLAR

Bir sayının çarpanlarından asal olanlarına bu sayının asal çarpanları denir. ÖRNEK: 75 sayısının asal çarpanlarını bulalım. 75 sayısının tüm çarpanlarını yukarıda öğrendiğimiz yöntemle 1, 3, 5, 15, 25, 75 olarak buluruz. Bu çarpanlar arasında asal sayı olanlar 3 ve 5 olduğu için 75'in asal çarpanları 3 ve 5'tir. Sayıların asal çarpanlarını bulmayı ve bir sayıyı asal çarpanlarının çarpımı şeklinde yazmayı aşağıdaki iki yöntemle yapabiliriz.

ÇARPAN AĞACI

Çarpan ağacı nedir, nasıl yapılır görelim. Bir sayıyı iki sayının çarpımı şeklinde yazarız (en küçük asal sayıdan başlayabiliriz). Daha sonra bulduğumuz sayıları asal sayı olana kadar bu işleme devam ederiz. Oluşan dalların uçlarındaki sayılar sayımızın asal çarpanlarıdır. NOT: Çarpan ağacında dalların uçlarındaki asal sayıların çarpımı, çarpanlarına ayırdığımız sayıyı verir. Bir sayıyı bu şekilde yazarsak asal çarpanlarının tabanlarda bulunduğu üslü ifadelerin çarpımı şeklinde yazmış oluruz.

ÖRNEK:
36 sayısını çarpan ağacı kullanarak asal çarpanlarına ayıralım. 36 sayısının çarpanları : 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36'dır. Bunu bir sayının çarpanları konumuzda öğrenmiştik. Bu sayılardan asal sayı olanları asal çarpanlarımızdır. 36 sayısının asal çarpanları: 2 ve 3'tür. Şimdi bunu çarpan ağacı ile bulalım:

36 sayısının asal çarpanlarının çarpımı şeklinde yazılmış hali 36 = 22 . 32 'dir.

ÖRNEK:
60 sayısını çarpan ağacı kullanarak asal çarpanlarına ayıralım. 60 sayısının çarpanları : 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 ve 60'tır. 60 sayısının asal çarpanları: 2, 3 ve 5'tir. Şimdi bunu çarpan ağacı ile bulalım:

60 sayısının asal çarpanlarının çarpımı şeklinde yazılmış hali 60 = 22 . 3 . 5 'tir.

SORU:
Aşağıdaki çarpan ağaçlarında verilmeyen A, B ve C sayılarını bulunuz. ÇÖZÜM: Birinci çarpan ağacı örneğini birlikte yapalım, kalan çarpan ağacı örnekleri sizin olsun. Çarpan ağacında her sayı altındaki sayıların çarpımına eşittir.
Alttan başlayarak
A = 2.2 = 4
B = 2.4 = 8
C = 5.8 = 40 bulunur.

BÖLEN LİSTESİ (Asal Çarpanlar Algoritması)

Bölen listesi nedir, nasıl yapılır görelim. Sayımızın yanına dikey bir çizgi çekeriz ve en küçük asal sayıdan başlayarak ve tam bölünmediğinde bir sonraki asal sayıya geçerek bölme işlemi yaparız. 1'i elde edince işlemimiz sona erer. Çizginin sağında kalan sayılar sayımızın asal çarpanlarıdır.

NOT: Bölen listesinde çizginin sağındaki asal sayıların çarpımı, çarpanlarına ayırdığımız sayıyı verir. Bir sayıyı bu şekilde yazarsak asal çarpanlarının tabanlarda bulunduğu üslü ifadelerin çarpımı şeklinde yazmış oluruz.

ÖRNEK:
36 sayısını bölen listesi ile asal çarpanlarına ayıralım. 36 sayısını 2'den başlayarak asal sayılara sırayla bölüyoruz. 1'i elde ettiğimizde çizginin sağ tarafında kalan sayılar 36'nın asal çarpanlarıdır. 36 sayısının asal çarpanları 2 ve 3'tür. Çizginin sağ tarafındaki sayıları çarparak 36 sayısını elde edebiliriz. 36 sayısının asal çarpanlarının çarpımı şeklinde yazılmış hali


SORU: Aşağıdaki bölen listelerinde verilmeyen A, B ve C sayılarını bulunuz.

ÇÖZÜM:
Birinci bölen listesi örneğini birlikte yapalım, kalan bölen listesi örnekleri sizin olsun. Bölen listesinde soldaki sayıyı sağındaki sayıya böleriz, çıkan sonucu altına yazarız.
Alttan başlayarak
A : 3 = 5 olacağı için A = 15
B : 2 = 15 olacağı için B = 30
C : 2 = 30 olacağı için
A = 60 bulunur.

Bir Tamsayının Tam Bölenleri

Bir tamsayının, asal sayıların çarpımı şeklinde yazılması,bu sayının asal çarpanlarına ayrılmasıdır.144 sayısı 12 ile bölünür 2 ve 6 sayıları 12 sayısının çarpanlarıdır ve 144 sayısı aynı zamanda 2 ve 6 ile de tam bölünür.Kısaca 144 sayısını tam bölen asal sayılar 2 ve 3 asal sayılarıdır(asal çarpanlarına ayırıp görebilirsiniz) Bunun yanında bir tamsayının pozitif tam bölenleri,negatif tam bölenleri,pozitif tam bölenlerinin çarpımı o tamsayının çarpanlarını oluşturur.Ayrıca bir tamsayının asal olmayan tamsayı bölenlerinin sayısı,o sayının tamsayı bölenleri sayısından,asal bölenlerinin sayısı çıkarılarak bulunuyordur...