Asal Sayılar Asal Sayılar Nedir Asal Sayılar Tanımı
Tanım1
Yalnız bir ve kendisi ile bölünebilen birden büyük doğal sayılar asal sayıdır.
Tanım2
Bütün bölenlerinin kümesi ancak ve ancak iki elemanlı birden büyük doğal sayılar
Tanım
3Sıfırdan ve birden farklı doğal sayılar kümesinde bir sayının böleni yalnız ve yalnız kendisiyse asal sayıdır
Yukarıdaki tanımlara göre 2,3,5,7,11,13,17... sayıları asaldır. Bir tanım gereği asal değildir. Sıfır ise Bire bölünebilir fakat kendisiyle bölümünden sonuç sonsuz olduğu için asal sayı değildir. Buna göre 2 biricik çift asal sayıdır. Diğer bütün sayılar ikiye bölünebildiği için asal değildirler.
Tanım4
Asal olmayan 0,1 den farklı doğal sayılara bileşik sayı denir buna göre doğal sayılar kümesi üç kümenin birleşiminden oluşur
ASAL SAYILAR ÇİZELGESİNİN BULUNUŞU (ERATOSTEN KALBURU)
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
51 52 53 54 55 56 57 58 59 60
61 62 63 64 65 66 67 68 69 70
71 72 73 74 75 76 77 78 79 80
81 82 83 84 85 86 87 88 89 90
91 92 93 94 95 96 97 98 99 100
101 102 103 104 105 106 107 108 109 110
Bu çizelge metodun ismi olan Eratosten Kalburu ismini alır
ERATOSTEN KALBURUNUN ÖZELLİKLERİ
TEOREM1
Eratosten Kalburu metodunda asal sayıların kendilerinden büyük katları çizildiğinde, çizilmemiş en küçük ilk¬ ¬¬¬X sayısı asaldır. Bunu olmayana ergi metodundan ispatlayabiliriz.
İSPAT
Biran için X in asal olmadığını varsayalım .O zaman X in kendisi ve birden başka kendinden küçük bir B böleni, olmalıdır. X çizilmeyen en küçük sayıydı (Hipotez) O halde B böleni çizilen sayılar arasındadır .Bu ise Bnin daha önce belirtilmiş asal sayılardan birinin kendisinden farklı katı olduğunu gösterir .O halde bu asal sayılardan biri B yi böler B de X i böldüğünden (Bölünebilme bağıntısı geçişlidir)Bu asal sayı X i böler .Buradan X in bu asal sayının kendisinden farklı katı olduğu çıkar ki o zaman X in çizilmesi gerekir .Ama asal sayı olduğu için çizilmemiştir. Çelişki vardır. Onun için X asal sayı olmak zorundadır.
TEOREM2
Eroatosten Kalburunda bir X asal sayısının kendisinden farklı katlarının çizilmesi sırasında ilk silinen sayı X.X=X2 dir.
İSPAT:X asal sayısının kendisinden büyük X2 den küçük katlarını yazalım
1) X.2,X.3,X.4,X.5 ......X.k.........,X(X-1 )
1) dekiler ayrıca sıra ile 2nin,3ün,4ün,5in...k nın katlarını da verir
Xten küçük birden büyük sayılar
2) 2,3,4,5...,k....,(X-1)
2) deki sayılar X ten küçüktür .O halde bu sayılar ya çizilmemiş asal sayıdır yada Xten önceki çizilmiş sayılardır.2)deki sayıların belirtecini k alırsak
i) k=asalsa X.k tipinde olan(1)deki sayılar k nın katları arasında çizilmişlerdir
ii) K=asal değilse bu sayı xten küçük bir Z asal sayısının katı olacağından k=Z.Y
dirX.k=X1)deki Xin katları Znin katları arasında çizilmişlerdir.
Ohalde xin x2 küçük x ten büyük katları çizilmiştir gen O halde X asalının kendisinden farklı çizilecek ilk sayısı karesidir
ASAL SAYILARDA BAZI ÖZELLİKLER
Bir Bileşik Sayının En Küçük Asal Böleni
Teorem
Bir bileşik sayının birden farklı en küçük böleni asaldır.
İSPAT
X sayısının bölenleri kümesi B(x) olsun. Bu kümenin en küçük elemanı 1 en büyük elemanı a olan sonlu bir kümedir ve bu sıralamada Y sayısı birden sonra gelen ilk sayıdır. Bu sayının asallığını ispat için bir an bu sayının asal olmadığını varsayalım o zaman bu Y sayısının kendinde ve 1 den farklı bir böleni daha olacaktır. Yani Başka bir deyişle B(a) kümesinde Y den küçük bir d sayısı olacaktır .Halbuki en küçük bölen Y idi ondan küçük sayı olamaz. Çelişki vardır Onun için Y sayısı bileşik sayı olmalıdır.
Tanım
Bir bileşik sayının birden farklı en küçük böleni asal sayıya bu bileşik sayının en küçük asal böleni denir.
Sonuçlar
1.a) Bir bileşik sayının en küçük asal böleni,en fazla bölümü kadardır.
İspat
Bir A bileşik sayısı alalım bu sayının en küçük asal böleni Y olsun. Bölme işleminin sağlamasından A=Y.k olur. Buradan Anın Y ye bölünmesinden elde edilen k bölümü Anın bir bölenidir. Y,Anın birden farklı en küçük böleni olduğundan Y< k olur.
1.b) Bir bileşik sayının en küçük asal böleninin karesi o sayıdan büyük olamaz
Y£ k idi
Y.Y£ Y.k
Y2 £A yazılabilir. Y.k=A
BİR BİLEŞİK SAYININ ÇARPANLARINA AYRILMASI BÖLENLERİNİN SAYISI VE TOPLAMI
Tanım Bir bileşik sayı ,asal sayıların yada sıfırdan farklı doğal kuvvetlerin çarpımı şeklinde yazılmış ise bu bileşik sayı asal çarpanlarına ayrılmış denir.
Teorem(Aritmetiğin temel teoremi Her bileşik sayı,asal çarpanlarına ayrılabilir ve bu ayrılış ancak ve ancak bir türdedir.
İspat Ayrışımın varlığı
Herhangi bir a bileşik sayısı alalım. Her bileşik sayının bir en küçük asal böleni vardır teoreminden anın p1 gibi bir asal böleni olmak zorundadır. Bölme tanımına göre a=p1 . a1 dır. ve p1 >1 olduğundan a1 Son düzenleyen Safi; 1 Kasım 2016 04:37
