Normal dağılım

Normal dağılım, aynı zamanda Gauss tipi dağılım olarak isimlendirilen birçok alanda pratik uygulaması olan çok önemli bir sürekli olasılık dağılım ailesinden biridir. Bu dağılım ailesinin her bir üyesi sadece iki parametre ile, tam olarak tanımlanabilir: Bunlar konum gösteren ortalama (μ aritmetik ortalama) ve ölçek gösteren varyans (σ2 "yayılım")dır.
Standart normal dağılım ortalama değeri 0 ve varyans değeri 1 olan normal dağılım ailesinin tek bir elemanıdır. Carl Friedrich Gauss bu dağılımlar grubu ile, astronomik verileri analiz etmekte iken, ilgilenmiş ve bu dağılım için olasılık yoğunluk fonksiyonunu ilk defa tanımlamıştır [1]. Bu olasılık fonksiyonunun grafik şekli bir çan gibi görüntü verdiği için çoğu kez çan eğrisi olarak da anılır.
Doğa ve davranış bilimleri içinde bulunan birçok fenomenin niceliksel modeli yapılmasında normal dağılımın kullanılmasına neden merkezsel limit teoreminin uygulanmasından doğmaktadır. Birçok psikolojik ölçümler ve fiziksel fenomen normal dağılım kullanılarak çok iyi yaklaşık olarak açıklanmaktadır. Bu fenomenlerin altında yatan mekanizmalar çoğu zaman bilinmemekte fakat normal dağılım modelinin açıklamada uygulanmaktadır. Bunun pratik yaklaşımın teorik olarak savunması ise her bir reel gözlemin oluşması için geri planda çok sayıda birbirinden bağımsız etkilerin ayrı ayrı toplam olarak katkıda bulundukları varsayımıdır.
Normal dağılım istatistik biliminin birçok alanında kullanılmaktadır. Örneğin örneklem ortalaması için örnek dağılımı, örneğin kaynağı olan anakütle için dağılımın normal olmadığı gayet açık olsa bile, yaklaşık olarak normal dağılım göstermektedir. Bunun yanında, değerleri bilinen ortalaması ve varyansı olan bütün dağılımlar içinde enformasyon entropisini maksimum yapan dağılımın normal olduğu ispat edilmiştir. Böylece örnek ortalaması ve varyansı ile özetlenen her veri için bilinmeyen kaynak dağılımı olarak normal dağılımı kullanmak gayet doğal bir yaklaşım olması çok uygun bir davranıştır. İstatistikte kullanılan dağılımlar aileleri arasında normal dağılım pratikte en çok kullanılanıdır ve birçok istatistiksel test, normal dağılımın varolduğu varsayımına dayanılarak geliştirilmiştir ve kullanılmaktadır. Olasılık kuramı içinde birkaç sürekli olasılık dağılımları ve ayrık olasılık dağılımlarının limite giden dağılımları yani rassal değişkenlerin yakınsama analizinde kullanılmaktadır.

Tarihçe

İstatistik ve olasılığın önemli dağılımlarından biri olan normal dağılım, ilk olarak 1733'te Abraham de Moivre tarafından yayınlanan bir yazıda ilk ortaya çıkartılmıştır ve 1738'de yayınlanan The Doctrine of Chances (Şanslar Doktrini) adlı kitabının ikinci baskısında p değişmemek koşuluyla n değerinin artısıyla binom dağılımının limit şekli yaklaşım olarak gösterilmiştir. de Moivre'in bu sonucu Laplace tarafından 1812'de bastırılan Analytical Theory of Probabilities (Olasılıklar İçin Analitik Teori) geliştirilmiştir ve bu sonuç şimdi de Moivre-Laplace teoremi olarak isimlendirilmektedir.
Laplace normal dağılımı incelemkte olduğu deneylemelerde hataların analizi konusunda uygulamıştır. 1805'de Legendre çok önemli olan en küçük kareler yöntemini ortaya atmıştır. Gauss, bu yöntemi 1794'ten beri kullandığını iddia etmiştir ama en kesin surette hataların normal dağılımı varsayımı ile birlikte yayınladığı eser 1809'dadır.
Çan eğrisi teriminin ilk kullanılışı Jouffret tarafından 1875'te bir bağımsız parçalardan oluşan ikideğişirli normal hakkında yazıda çan yüzeyi teriminin kullanmasına kadar götürülebilir. Normal dağılım sözcüğü ise Charles S. Peirce, Francis Galton ve Wilhelm Lexis tarafından ayrı ayrı 1875 civarlarında ortaya atılmıştır.
Bu dağılıma normal adı vermek bazen hatalı görülmektedir; çünkü bazı hallerde diğer dağılımlar pratiğe çok daha uygunluk göstermektedirler.

Karakteristikler

Bir olasılık dağılımını çeşitli şekilde matematiksel ifadelerle karakterize etmek mümkündür. Bunlar arasında göze en iyi hitap edeni olasılık yoğunluk fonksiyonu ile olur. Aynı gerçeklerin diğer türlerde karakterize edilmeleri yığmalı dağılım fonksiyonu, momentler, kümülantlar, karakteristik fonksiyon, moment üreten fonksiyon, kümülant üreten fonksiyon ve Maxwell'in teoremi vasıtasıyla da karakterize edilebilir. Bu kavramların ayrıntıları için olasılık dağılımları maddesine bakınız.
Matematiksel notasyon kullanılması ile, X rassal değeri için ortalama değeri μ ve varyansı σ² ≥ 0, olan bir normal dağılımın bulunduğu şöyle ifade edilir:



Normal dağılım için fazla kullanılmayan bir değişik parametreleme şekli de bulunmaktadır. Bu (bir üssü varyans yani 1/ σ²), değerine eşit olan kesinlik parametresi τ kullanılarak yapılır. Bunun avantajı sıfır değerine çok yakin varyans (σ²) değerlerinin böler olmalarından doğan limit problemlerinden ayrılma imkânı sağlaması ve normal dağılımı bir üstel ailesi bireyi olarak kullanılması gerektiği halde ortaya çıkar.
Bazı merkezsel limit teoremleri için (örneğin kestirimlerin asimtotik normalliği) ve Gauss tipi sürecler teorisi kullanışlı olmakla beraber, tüm olasılığı μ etrafında konsantre eden ve bir normal dağılıma benzer olarak ortalama μ ve varyans σ² = 0 değerleri bulunan Dirac ölçümü bir normal dağılım olarak kabul edilmemektedir; buna matematiksel açıklama bu ölçümde Lebesque ölçümü kurallarına göre gereken yoğunluğun bulunmamasıdır.

Olasılık yoğunluk fonksiyonu


Normal dağılım için sürekli olasılık yoğunluk fonksiyonu şu Gauss-tipi fonksiyondur:



Burada σ > 0 standart sapmadır; bir reel parametre olan μ beklenen değerdir; ve



ifadesi standart normal dağılım için yoğunluk fonksiyonudur. Standart normal dağılım μ = 0 ve σ = 1 parametreleri olan bir normal dağılımdır.
ifadesinin reel doğru üzerindeki entegral değeridir. (Ayrıtıları için Gauss-tipi entegral maddesine bakınız.)

Olasılık yoğunluk fonksiyonunun özellikleri arasında şunlar başta gelenlerdir:

• ortalama değer μ etrafında simetrik olma;
• hem modun hem de medyanın ortalama μ değerine eşit olması;
• yoğunluk eğrisinin üzerindeki, ortalamadan birer standart sapma altında ve üstündeki noktalar arasında (yani μ − σ ve μ + σ noktalarında) bir [[enfleksyon nokta]]sı bulunması.

Yığmalı dağılım fonksiyonu

Bir olasılık dağılımı için yığmalı dağılım fonksiyonu, bir rassal değişken X için olay olasılığının dağılımının x sayısına eşit veya daha düşük olmasına kadar değerlendirilmesiden ortaya çıkar. Normal dağılım için yığmalı dağılım fonksiyonu (yoğunluk fonksiyonunda kullanılan ayn terimlerle) şöyle ifade edilir:



Burada, parametreleri μ = 0 ve σ = 1 olan standart normal dağılımı için yığmalı dağılım fonksiyonu, Φ, ile ifade edilmiştir ve bu fonksiyon şudur:



Standart normal yığmalı dağılım fonksiyonu ayni zamanda hata fonksiyonu adı verilen bir özel fonksiyon ifade edilebilir. Hata fonksiyonu şöyle ifade edilir:



Böylece hata fonksiyonu terimleri ile standart normal dağılımı için yığmalı dağılım fonksiyonu şöyle yazılır:



Standart normal dağılım için yığmalı dağılım fonksiyonunun tamlayıcı fonksiyonu (yani Q(x) = 1 − Φ(x)), çok kere Q-fonksiyonu olarak isimlendirilir ve özellikle bu kavram mühendislik kitaplarında büyük önemle yer almaktadır.
Standart normal yığmalı dağılım fonksiyonunun tersine kuantil fonksiyonu adı verilir. Bunun formülünü ifade için önce şu ters hata fonksiyonu bulunur:




ve bu fonksiyon kullanılarak şu ters yığmalı dağılım fonksiyonu ortaya çıkartılır:



Bu kuantil fonksiyonuna bazan probit fonksiyonu adı da verilir. Bir probit fonksiyonu için bir elemanter basit entegral bulunamayacağı matematiksel olarak ispat edilmiştir. Normal dağılım için çok iyi sonuçlar verdiği anlaşılan yaklaşık fonksiyonlar ve yöntemler ortaya çıkarılmıştır. Bunlar arasında sayısal entegrasyon, Taylor serileri, asimtotik seriler ve devam eden kesirler yöntemlerinin kullanılması anılabilir.

Yığmalı dağılım fonksiyonu için kesin alt ve üst sınırlar

Büyük değerde bir x sayısı için standart normal dağılım yığmalı dağılım fonksiyonun değerinin bire, 1, yakınsalandığı ve ın ise sıfıra,0, yakınsaladığı aşikardır. Yoğunluk terimleri kullanılarak, şu basit üst sınır



ifadesi yeterlidir.
Yerine koymak suretiyle entegresyon yöntemi kullanarak, üst sınır şöyle ortaya çıkartılabilir:



Aynı şekilde ifadesini ve bölüm kuralını kullanarak



ifadesi ortaya çıkartılır. Bunun terimleri ile çözümlenmesı yukarıda ifade edilen üst sınırı verir.

Üreten fonksiyonlar

Moment üreten fonksiyon

Genel olarak moment üreten fonksiyon, exp(tX) için beklenti olarak tanımlanır. Bir normal dağılım için moment üreten fonksiyonu şu olur:



Bu ifade, tanımda verilen üssel değerin, karesini tamamlamak yöntemi dönüştürülmesi ile elde edilmiştir.

Kümülant üreten fonksiyon

Kümülant üreten fonksiyon, moment üreten fonksiyonun logaritmasidir:
g(t) = μt + σ²t²/2. Bu t terimleri ile bir kuadratik polinom olduğu için yalnız ilk iki kümülant için sıfır olmayan değer bulunabilinir.

Karakteristik fonksiyon

Karakteristik fonksiyon, i sanal birim ile gösterilen exp(itX) ifadesinin beklentisi olarak tanımlanmıştır. Bu nedenle karakteristik fonksiyon, moment üreten fonksiyon içindeki t teriminin it ile değiştirilmesi ile elde edilir.
Bir normal dağılımı için karakteristik fonksiyonu şudur:



Özellikleri

Normal dağılımın şu özellikleri vardır:

1. Eğer X˜N(μ,σ2) ve a ile b reel sayılar ise, o zaman aX + b˜N(aμ + b,(aσ)2) (Beklenti ve varyans maddelerine bakınız.).
2. Eğer ve ifadeleri bağımsız normal rassal değişkenler ise, o halde -
   • Bunların toplamı normal dağılım gösterir (proof). Daha ilgi çekici olarak bunun tersi de geçerlidir: Eğer iki bağımsız rassal değişkenlerin toplamı normal dağılım gösteriyorsa, her iki değişken de ayrı ayrı normal dağılım gösterirler. Bu Cramer'in teoremi olarak isimlendirilmiştir.
   • Bunların arasındaki fark şu şekilde normal dağılım gösterir: Yani .
   • Eğer X ve Y rassal değişkenlerinin varyansları birbirine eşitse, U (toplam için rassal değişken) ve V (fark için rassal değişken) birbirinden bağımsızdırlar.
   • Kullback-Leibler ayırımı şöyle ifade edilir
3. Eğer ve birbirinden bağımsız normal rassal değişkenler ise; o zaman
   • Bunların çarpımı, yani XY, p ile şöyle ifade edilen yoğunluk fonksiyonu olan özel bir dağılım gösterir burada K0 bir değiştirilmiş ikinci derecede Bessel fonksiyonudur.
   • Bunların birbirine oranı X / Y˜Cauchy(0,σX / σY) şekilde Cauchy dağılımı gösterir. Böylece bu Cauchy dağılımı özel bir tip orantı dağılımı olur.
4. Eğer bir seri bağımsız standart normal değişkenler ise, o zaman bunların toplamı, yani n serbestlik dereceli bir ki-kare dağılımı gösterir.

Normal rassal değişkenlerin standart forma dönüşümleri

Yukarıda verilen 1. özellik sonucu olarak tüm normal rassal değişkenleri standart normale dönüştürmek imkânı vardır: Eğer X ~ N(μ,σ2) ise, bu halde



bir standart normal rassal değişken olur; yani Z ~ N(0,1).
Bunun bir önemli sonucu yığmalı olasılık fonksiyonun bir genel normal dağılımı olmasıdır:



Tersini ele alırsak, eğer Z bir standart normal dağılım ise, yani Z ~ N(0,1) ise o halde
X = σZ + μ ifadesi de beklenen değeri μ ve varyansı σ2 olan bir normal rassal değişkendir.
Standart normal dağılım için çeşitli tablolar bulunmaktadır. Çok kere bu tablolar yığmalı dağılım fonksiyonu, Φ şeklindedirler. Diğer normal dağılımlar basit bir dönüşüm ile standart normal dağılıma dönüştürülüp bu tablolardan biri kullanılabilir.

Momentler

Normal dağılım için ilk birkaç momentleri şunlardır:
Sayı Ham moment Merkezsel moment Kümülant 0 1 1
1 μ 0 μ 2 μ2 + σ2 σ2 σ2 3 μ3 + 3μσ2 0 0 4 μ4 + 6μ2σ2 + 3σ4 3σ4 0 5 μ5 + 10μ3σ2 + 15μσ4 0 0 6 μ6 + 15μ4σ2 + 45μ2σ4 + 15σ6 15σ6 0 7 μ7 + 21μ5σ2 + 105μ3σ4 + 105μσ6 0 0 8 μ8 + 28μ6σ2 + 210μ4σ4 + 420μ2σ6 + 105σ8 105σ8 0 Normal dağılım için ilk iki kümülant dışındaki kümülant değerler hep sıfıra eşittir.
Daha büyük sayıya bağlı (2k derecede ve μ = 0) merkezsel momenti şu formül kullanılarak elde edilebilir:



Normal rassal değişirler için üretici değerler

Bilgisayarla simulasyon yapılmakta iken, çok kere bir normal dağılım için değerlerin üretilmesi gerekir. Bunun için birkaç değişik yöntem kullanılabilir. En basit şekilde bir standart normal dağılım yığmalı olasılık fonksiyonunun tersini almak suretiyle elde edilir. Daha etkin yöntemler de geliştirilmiştir.
Çok popüler olarak kullanılan yöntem Box-Muller dönüşümüdür. Box-Muller algoritması kullanılması, [0,1] arasında bulunan sürekli tekdüze dağılım gösteren iki sayı a ve b ile başlar; bunlardan şu formüllere göre iki standart normal dağılım gösteren c ve d sayıları şöyle elde edilir:



Bunların elde edilmesi, dönüşümün bazında (yukarıda 4. özellikte gösterilen) 2 serbestlik derecesi olan bir ki-kare dağılımının kolayca üretilebilinen bir üstel rassal değişken olması gerçeğine dayandırılır.
Halen en etkin şekilde normal dağılımı simulasyonu için, ziggurat algoritması kullanılmaktadır.

Merkezsel limit teoremi


n=48 ve p=1/4 parametreleri olan bir binom dağılımının olasılık kütle fonksiyonun yaklaşımı olarak μ = 12 ve σ = 3 parametreli bir normal dağılımın olasılık yoğunluk fonksiyonunun gösterinimi.

Sonlu varyansları olan bağımsız ve aynı dağılımlı rassal değişkenler ve benzeri koşullar altında, büyük sayıda rassal değişkenlerin toplamı yaklaşık olarak normal dağılım gösterir. Bu merkezsel limit teoremidir.
Merkezsel limit teoreminin pratik önemi normal yığmalı dağılım fonksiyonunun bazı diğer yığmalı dağılım fonksiyonunun yaklaşıkı olarak kullanabilmesindedir. Örneğin

• Parametreleri n ve p olan bir binom dağılım için, eğer büyük değerlerde, ama 0 veya 1e çok yakın olmayan n ve p bulunursa bir normal dağılımına yaklaşmış oldukları kabul edilebilir. (Bazı istatistik kitapları bu yaklaşımın np ve n(1 − p değerlerinin her ikisi için en aşağı 5 olması halinde uygulanmasını ve eğer 5 olurlarsa bir devamlılık doğrulaması kullanılmasını tavsiye ederler.)
  Eğer yaklaşık olarak normal dağılımı kullanılırsa bunun parametreleri μ = np ve σ2 = np(1 − p) olarak bulunması gerekir.

• Eğer λ'nin değeri büyük ise, λ parametreli [[Poisson dağılımı] için yaklaşık olarak normal dağılım kullanılabilir ve bu halde yaklaşık normal dağılımın parametreleri μ = σ2 = λ olarak bulunur.

Bu yaklaşımların yeter derecede doğru olup olmayacağı, sonuçların ne maksatlarla kullanacaklarına ve normal dağılımın yakınsalama oranına bağlıdır. Bu tip yaklaşımlar dağılımın kuyruk değerlerine yaklaştıkça gittikce daha çok hatalı olacaklardır. Berry-Essen teoremi yığmalı dağılım fonksiyonu için yaklaşım hatası için genel üst sınırları gösterir.

Sonsuz olarak bölünebilme

Normal dağılımlar sonsuz olarak bölünebilen olasılık dağılımlarıdır: Bir ortalama değeri μ, bir varyans değeri σ 2 ≥ 0, ve bir doğal sayı değeri n verildiği zaman, n bağımsız rassal değişkenlerin toplamı olan 'X1 + . . . + Xn' şu normal dağılımı gösterir:



(Daha fazla ayrıntı için matematik tümevarım ile normal dağılım gösteren rassal değişkenlerin toplamı maddelerine bakınız.)

Dengelilik

Normal dağılımlar kesinlikle dengelilik gösteren olasılık dağılımlarıdır.

Standart sapma ve güvenme açıklıkları


Koyu mavi ortalamadan bir standart sapma daha küçüktür. Bir normal dağılım için bu (koyu mavi) eğrinin altında kalan alan, toplam alanın %68'ini kapsar. Ortalamadan iki standart sapma aralığında noktalar için eğrinin altında kalan alan (açık, orta ve koyu mavi alan) toplam alanın %99.7sini kapsar.

Bir normal dağılımdan seçilmiş değerlerin %68i ortalama olan μ'in bir standart sapma σ > 0 uzaklığındaki noktalar arasındadır; değerlerin neredeye %97si μ'den iki standart sapma uzaklıklar aralığında; ve %99,7 üç standart sapma uzaklıklar aralıgında bulunur. Buna empirik kural veya 68-55-99.7 kuralı adı da verilir.
Daha doğru bir kesin ifadeyle μ − nσ ve μ + nσ arasındaki çan eğrisinin altında kalan alanın yığmalı normal dağılım fonksiyonu şöyle verilir:



Burada erf [[hata fonsiyonu] dur. Ondalık sayılarla 12 basamak kullanilarak 1-, 2- .. 6- sigma noktalarına kadar değerler soyle verilir:


1 0.682689492137
2 0.954499736104
3 0.997300203937
4 0.999936657516
5 0.999999426697
6 0.999999998027

İkinci tablo çan eğrisinin altındaki alan için değerlerin bulunmasını sağlamak üzere, çok zaman kullanılan katsayı değerlerindeki, sigma çarpanlarinin ters ilişkisini gösterir. Normal dağılım gösteren veya asimtotda normal olan kestirimler için belirtilmiş olan seviyelerde (asimtotik) güvenlik aralığını saptamak için bu değerler çok kullanışlıdır:



0.80 1.28155
0.90 1.64485
0.95 1.95996
0.98 2.32635
0.99 2.57583
0.995 2.80703
0.998 3.09023
0.999 3.29052

Bu tabloda sol taraftaki sütun bilinen bir aralığa düşecek değerlerin oranı verilmekte ve soldaki n sütunu ise aralığın genişliğinin kaç tane standart sapma birimini ihtiva ettiğini göstermektedir.

Üstel ailesi şekli

Normal dağılım bir iki parametreli üstel ailesi elemanıdır. İki tane doğal parametresi μ ve 1/σ2

olur ve doğal istatistikleri X ve X2 dir. Kanonik şeklinin parametreleri ve olup yeterli
istatistikleri ve olur.

İlişkili dağılımlar

• Eğer ise ve burada X˜N(0,σ2) aveY˜N(0,σ2) iki bağımsız normal dağılımlarsa, o halde R˜Rayleigh(σ2) bir Rayleigh dağılımı olur.

• Eğer ise ve burada için Xk˜N(0,1) ise ve bunlarin hepsi
• bağımsızlarsa; o zaman serbestlik derecesi ν olan bir ki-kare dağılımı olur.
• Eğer iki bağımsız normal dağılımlı X1˜N(0,1) ve X2˜N(0,1)

için Y = X1 / X2 ise, o zaman Y˜Cauchy(μ = 0,θ = 1) bir Cauchy dağılımıdır.

• Eğer Y = eX ve X˜N(μ,σ2) ise, o zamanY˜Log-N(μ,σ2) bir log-normal dağılımıdır.
• Lévy çarpık alpha-durağan dağılımına ilişki : Eğer
• ise o halde X˜N(μ,σ2).
• Kesilmiş normal dağılımı. Eğer o halde Xi alttan A'da ve üstten B'de kesmek suretiyle, ortalaması olan bir rassal değişken ortaya çıkarılır.

Burada



olur ve bir standart normal rassal değişken için bir olasılık yoğunluk fonksiyonu olur.

• Eğer X normal dağılım gösteren bir rassal değişken ise ve Y = | X | ise, o halde Y bir katlanmış normal dağılım gösterir.

Betimsel ve çıkarımsal istatistikler

Puanlar

Puan verme çeşitlerinin çoğu normal dağılıma bağlı olarak ortaya çıkarılmıştır. Değişik puanlama yöntemleri arasında yüzbirliklerle sıralamalar, normal eğri eşitliklikleri, staninler, z puanı ve T-puanlaması vb. sayılabilir. Davranışsal bilimlerde kullanılan birçok istatistiksel yordamlar puanlarin normal dağılım gösterdiği varsayımına dayanılarak geliştirilmiştir. Örneğin çok kişiye uygulanan imtihan veya zeka testleri için bir çan eğrisine dayanan not verilip imtihan veya test sonuçlarının gruplanması veya sıralanması imtihan veya test notlarının normal dağılım gösterdiği varsayımına dayandırılır.

Normallik sınamaları

Normallik sınamaları, verilmiş bir veri dizisinin normal dağılıma benzerliğinin incelenmesidir. Bu sınamalarda sıfır hipoztez veri dizisinin normal dağılıma benzer olmasıdır. Bu nedenle normal olmayan veri için yeter derecede küçük bir p-değeri (yani genellikle %0,05den veya 0,01den küçük) ortaya çıkacak ve sıfır hipotez olan veri dizisinin normal dağılıma benzerliği hipotezinin ret edilmesine neden olacaktır.

• Kolmogorov-Smirnov sınaması
• Lilliefors sınaması
• Anderson-Darling sınaması
• Ryan-Joiner sınaması
• Shapiro-Wilk sınaması
• Normal olasılık gösterimi (rankit gösterimi)
• Jarque-Bera sınaması

Parametrelerin kestirimi

Parametrelerin maksimum olabilirlik kestirimi

Bir düşünce denemesi olarak, bir seri normal dağılım için
ifadesinin herbiri diğerinden bağımsız olduğu düşünülsün. Herbir ifade beklentisi μ ve varyansı σ2>0 olan normal dağılımlar göstermektedir. İstatistikçiler bu n rassal değişkenin gözümlenen değerlerinin normal dağılım gösteren bir anakütleden ortaya çıkan bir n büyüklüğüde bir örneklem olduğunu kabul etmektedirler. Bu örneklemden gözlenen değerlere dayanarak "anakütle ortalaması" μ ve "anakütle standart sapması" kestirimcilerini bulmak arzu edilmektedir. Bu n sayıdaki bağımsız rassal değişken için sürekli ortak olasılık yoğunluk fonksiyonu şöyle verilir:


μ ve σ fonksiyonlari olarak, X1, ..., Xn gözlemlerine dayanan olabilirlilik fonksiyonu şudur:



Burada C>0 herhangi bir sabittir. Bunun genellikle X1,...,Xn değişkenlerine bile dayanarak bağlandığı kabul edilmektedir; ama hesaplanan parametrelere göre log-olabilirlilik fonksiyonlarin kısmî türevleri bulunduğu zaman sabit oldukları için elimine edilmektedirler.
Maksimum olabilirlilik yöntemine göre olabilirlilik fonksiyonu maksimize eden μ ve σ değerleri, teorik anakütle parametreleri olan μ ve σ için kestirim oldukları kabul edilmektedir. Genel olarak iki değişkenli bir fonksiyonun maksimum değerini hesaplanmaktayken kısmî türevler kullanılır. Ancak burada maksimum hesaplama daha kolaylaşmaktadır çünkü olabilirlilik fonksiyonunu maksimize eden μ değeri bulunmakta iken σ anakütle parametresi olan σya bağımlı olmayan bir sabittir. Bundan dolayı ilk olarak μ değeri bulunur; bu değer olabilirlilik fonsiyonundaki μ değişkeni yerine konulur ve bu yeni tek değişkenli fonksiyonu maksimize eden σ değeri bulunur.
Olabilirlilik fonksiyonunun şu toplam ifadesinin bir azalan fonksiyonu olduğu bilinmektedir:



Bu toplam ifadeyi minimize edecek μ değerini bulmak istenmektedir. Şu ifade



n gözleme dayanan bir "örneklem ortalamasıdır. Böylece


Bu ifadede so terim μ değişkenine bağlıdır ve bu terimin minimum değeri şöyle bulunur:

İşte bu ifade n sayıda X1,....,Xn gözlem kullanarak μnun maksimum olabilirlilik
kestirimidir. Sonuç olarak



elde edilir. Olabilirlilik fonksiyonunun logaritmasi olan log-olabilirlilik fonksiyonu matematik notasyona göre küçük harflerle (yani , yazılması alışılagelmiştir.



Sonra



olur. Bu türev, σ2 değeri 0 ile



değeri arasında ise pozitif olur; bu değere eşitse türev sıfıra eşittir; bu değerden büyükse türev negatif olur.
Bu analizin sonucu olarak bu bulunan artıklar n gözlemli örneklem için σ2 bir maksimum olabilirlilik kestirimidir ve bunun kare kökü σ için maksimum olabilirlilik kestirimdir. Bu kestirim yani bir yanlı kestirimdir. Alışılagelen yansız kestirim n/(n − 1) çarpı bu kestirimdir. Ancak yanlı maksimum olabilirlik kestirimi için ortalama hata karesi yansız kestirimden daha küçüktür.

Parametrelerin yansız kestirimi

Bir örneklemden elde edilen anakütle ortalamasının maksimum olabilirlilik kestirimcisi, anakütle ortalamasının yansız kestirimcisi olarak bilinir. Aynı şekilde anakütle ortalaması önsel olarak bilinirse, varyans için maksimum olabilirlilik kestrimcisi de yansız kestirimcidir. Ancak eğer elimizde bir örneklem bulunuyorsa ama bu örneklemin geldiği anakütlenin ne ortalamasının ne de varyansının değerlerin bilmiyorsak, anakütle varyansının yansız kestrimicisi, σ2, şöyle ifade edilir:



Eğer tüm Xi birbirinden bağımsız ve aynı şekilde dağılım gösterirlerse, bu "örneklem varyansı" bir Gamma dağılımı gösterir: