Mandelbrot Fraktalleri
Kaos teorisinin diğer bir öncüsü, IBM’de çalışan bir matematikçi olan Benoit Mandelbrot, farklı bir matematik tekniği kullandı. IBM için çalışan bir araştırmacı sıfatıyla, geniş bir çeşitlilik gösteren doğadaki “rastlantısal” süreçlerdeki “desenleri” araştırdı ve buldu. Örneğin telefon haberleşmesinde her zaman varolan fon “gürültüsünün” önceden kestirilmesi bütünüyle imkânsız olan ya da kaotik olan, ama yine de matematiksel olarak tanımlanabilen bir desen sergilediğini keşfetti. Mandelbrot IBM’deki bilgisayarları kullanarak, kaotik sistemleri, sadece en basit matematiksel kurallardan yararlanarak grafiksel olarak üretebilmişti. “Mandelbrot kümeleri” olarak bilinen bu resimler sonsuz bir karmaşıklık gösteriyordu, bu resimlerin herhangi bir kısmı daha ince ayrıntıları görmek için “büyütüldüğünde”, sınırsız olarak görünen muazzam çeşitlilik devam ediyordu.
Mandelbrot kümeleri belki de şimdiye kadar görülen en karmaşık matematiksel nesne veya model olarak tanımlanmıştı. Yine de kendi yapısı içerisinde hala desenler mevcuttu. Ölçek defalarca “büyütülerek” daha ince ayrıntılara bakıldığında (tüm yapı belirli bir matematiksel kurallar kümesine dayandığından bilgisayarın sayısız defa yapabileceği bir şey) farklı ölçeklerde düzenli tekrarların –benzerliklerin– varolduğu görülebildi. “Düzensizliğin derecesi” farklı ölçeklerde aynıydı. Mandelbrot düzensizliğin içinde besbelli olan desenleri tanımlamak için “fraktal” ifadesini kullandı. Matematiksel kurallar üzerinde ufak tefek değişiklikler yaparak çeşitli fraktal şekiller yapmayı başardı. Böylece herhangi bir ölçekte (herhangi bir büyültme oranında) her zaman aynı dereceden “düzensizliği” veya “kıvrımlaşmayı” sergileyen bir kıyı şeridini bilgisayarında simüle etmeyi başardı.
Mandelbrot kendi bilgisayar ağırlıklı sistemlerini, farklı ölçeklerde aynı deseni defalarca yineleyen fraktal biçimli geometri örnekleriyle de karşılaştırdı. Örneğin Menger Süngerinde, gerçek katı hacmi sıfıra yaklaşırken, iç yüzey alanı sonsuza gider. Burada, sanki düzensizlik derecesi süngerin yer kaplamaktaki verimliliğine tekabül etmektedir. Bu göründüğü kadar cazip olmayabilir, çünkü Mandelbrot’un da gösterdiği gibi doğada fraktal geometrinin birçok örneği vardır. Nefes borusunun iki bronş oluşturacak şekilde dallanması ve bu dallanmanın bronşlarda aşağılara doğru ciğerlerdeki minik hava geçitleri düzeyine kadar yinelenmesi, fraktal olduğu gösterilebilecek olan bir desen izler. Aynı şekilde kan damarlarının dallanmasının da fraktal olduğu gösterilebilir. Diğer bir deyişle, hangi ölçekte incelenirse incelensin yinelenen bir geometrik dallanma deseni, bir “kendine benzerlik” söz konusudur.
Doğadaki fraktal geometri örnekleri hemen hemen sınırsızdır ve Doğanın Fraktal Geometrisi adlı kitabında Mandelbrot tam da bunu kanıtlamak istemişti. Normal bir kalp atışları spektrumunun, belki de kalp kaslarındaki sinir liflerinin fraktal düzenlenişinden ötürü, fraktal yasalar izlediği bulunmuştur. Aynı durum bir şizofreni özelliği olan gözün istem dışı hızlı hareketleri için de doğrudur. Bu yüzden fraktal matematik, fizyoloji ve deprem çalışmalarından metalürjiye kadar uzanan disiplinleri içeren çeşitli bilim alanlarında bugün rutin bir biçimde kullanılmaktadır.
Kaosun deterministik temelinin diğer göstergeleri, faz geçişleri üzerine çalışmalarda ve matematik modelleyicilerin “çekici” olarak adlandırdıkları şeyler yardımıyla gösterilmişti. Faz geçişlerinin birçok örneği vardır. Bu, bir sıvının “laminer” akıştan türbülanslı akışa geçişi anlamına gelebileceği gibi, katının sıvıya ya da sıvının gaza dönüşümü veya bir sistemin iletkenlikten “süper iletkenliğe” geçişi anlamına da gelebilir. Bu faz değişimlerinin teknolojik tasarım ve inşa alanında son derece önemli sonuçları olabilir. Örneğin bir uçak, kanadı üzerindeki hava akışı laminer akıştan türbülanslı akışa dönüşürse irtifa kaybedecektir; aynı şekilde suyu pompalamak için gereken basınç borudaki akışın türbülanslı olup olmamasına bağlı olacaktır.
Faz-ölçek diyagramları ve çekicilerin kullanımı, rastlantısal gözüken sistemlerde geniş bir uygulama alanı bulan bir diğer matematiksel aracı temsil eder. Diğer kaos çalışmalarında olduğu gibi, elektrik osilatörlerini, akışkan dinamiğini ve hatta küresel yıldız kümelerindeki yıldızların dağılımını içeren çeşitli araştırma programları alanında da “garip çekiciler” olarak anılan, ortak desenlerin mevcut olduğu keşfedilmiştir. Bu çeşitli matematiksel araçların tümü –periyot katlanması, fraktal geometri, garip çekiciler– kaotik dinamiği inceleyen farklı araştırmacılar tarafından farklı zamanlarda geliştirildi. Ama hepsinin sonuçları aynı yöne işaret etmektedir: şimdiye dek rastlantısal olarak düşünülen şeylerin altında matematiksel bir yasallığın yattığına.
Mitchell Feigenbaum adlı bir matematikçi, birkaç ipucunu bir araya getirerek kaosun “evrensel teorisi” olarak adlandırdığı teorisini geliştirdi. Gleick’ın söylediği gibi “teorisinin, düzen ve türbülans arasında geçiş durumunda olan sistemlere ilişkin doğal bir yasayı ifade ettiğine inandı... evrenselliği sadece nitel değil, aynı zamanda niceldi de... sadece desenlere değil kesin sayılara da ulaşmıştı.” Marksistler, niceliğin niteliğe dönüşümü olarak bilinen diyalektik yasayla buradaki benzerliği fark edeceklerdir. Bu düşünce, değişimin ölçülebilir olduğu aşağı yukarı tedrici bir gelişim döneminden, değişimin o denli “devrimci”, “sıçrama”nın o denli büyük oluşu sayesinde sistemin bütün “niteliği”nin değiştiği bir sonraki döneme dönüşümünü anlatır. Gleick’ın burada kavramları benzer bir anlamda kullanışı, modern bilimsel teorinin materyalist diyalektiğe doğru sendeleyerek de olsa ilerlediğinin bir başka göstergesidir.
Yeni bilimin temel kalkış noktası, onun dünyayla gerçekte olduğu gibi, yani sürekli olarak değişen dinamik bir sistem olarak ilgilenmesidir. Klasik lineer matematik, sabit ve değişmez kategorilerle iş gören biçimsel mantık gibidir. Yaklaşım olarak yeterince sağlamdır ama gerçekliği yansıtmaz. Ne var ki diyalektik, değişimin ve süreçlerin mantığıdır ve bu nedenle biçimcilik karşısında büyük bir ilerlemeyi temsil eder. Aynı şekilde kaos matematiği de, hayatın tatsız düzensizliklerini ihmâl eden, ziyadesiyle “gerçekdışı” bilimden ileriye doğru atılmış bir adımdır.
Kaynak:Aklın İsyanı/Alan Woods,Ted Grant(Kaostan Çıkan Düzen)
