Trigonometri hakkında bilgi verir misiniz?
Ziyaretçi
Trigonometri, üçgenlerin açılan ile kenarları arasındaki bağıntıları konu edinen matematik dalı. Düzlemsel trigonometride, iki boyuttu düzlemde (ve üçü de aynı doğru özerinde yer almayan) üç noktayı doğru parçalarıyla ikişer ikişer birleştirerek oluşturulan düzlemsel
üçgenler söz konusudur.
Küresel trigonometride ise, üç boyutlu kürenin iki boyutlu olan yüzeyinde (ve üçü de aynı büyük çember üzerinde yer almayan) uç noktayı büyük çember yaylarıyla ikişer ikişer birleştirerek oluşturulan küresel üçgenler söz konusudur. .Küresel trigonometri Eski Yunanlılarda astronomiye ilişkin gereksinimleri karşılamak amacıyla ortaya çıktı ve gelişti. Küresel trigonometri aslında düzlemsel trigonometriyi de tümüyle içerir, ama düzlemsel trigonometri ancak 15. yüzyıl Avrupa'sında, topografya, ticaret ve denizciliğin gereksinimleri doğrultusunda kendi başına ve küresel trigonometriden bağımsız olarak gelişmiştir. Küresel trigonometri, düzlemsel geometriden daha önce ortaya çıkıp gelişmiş olmakla birlikte, ancak düzlemsel geometrinin temel ilkelerinin bilinmesiyle daha iyi anlaşılabilir. Düzlemsel trigonometri aslında her tür düzlemsel üçgen için geçerli olmakla birlikte, bağıntılar genellikle dik üçgenlerde tanımlanır. Açılarından biri 
% 0° ile 90° arasında olan bir dik üçgenin (düzlemsel bir üçgende iç açıların toplamı 180° olduğu için) öteki açısı 90—,4'ya eşittir. Böyle bir üçgende dik açının karşısındaki kenar hipotenüs, /Tnın karşısındaki kenar karşı kenar, A 'ya komşu olan kenar ise komşu kenar olarak adlandırılır. Bu kenarlar birbirlerine ikişer ikişer altı farklı biçimde oranlanabilir, böylece A açısının trigonometrik fonksiyonları tanımlanmış olur; bunlar sinüs (kısaltılmış biçimi sin), kosinüs (cos), tanjant (tan ya da tg), sekant {sec), köse kant (esc) ve kotanjant (cot) olarak adlandırılır.
_ A _ komşu kenar A hipotenüs
Sin A- kar§l kenar hipotenüs '
tan A kar§! ^enar ccc A - hipotenüs
komşu kenar komşu kenar
çsc A=
karşı kenar
cöt A - k°mşu kenar CO1
" karşı kenar
Bu tanımlardan görülebileceği gibi, bu fonksiyonlar arasında, tan A= sin Al cos A, cot A = 1/ tan A = cos Al sin A, sec A— 1/ cos A, esc A= l/sin A ilişkileri vardır. Trigonometrik fonksiyonların değişik açılar için değerleri tablolar biçiminde verilmiştir, topografya ve öteki mühendislik uygulamalarında bu tablolardan yararlanılır. Böyle bir uygulamaya çok yalın bir örnek olmak azere bir binanın yüksekliğinin bulunması problemini göz önüne alalım. Binanın, üzerinde kurulu olduğu araziye dik olarak yükseldiği kabul edilerek, köşelerinden biri binanın tabanında, öbür köşesi arazi üzerinde ve bina tabanından belirli bir uzaklıkta, üçüncü köşesi de binanın tepesinde olan bir idik üçgen göz önüne alınabilir. Bu üçgende tan A = karşı kenar binanın yüksekliği komşu kenar ~ bina tabanına uzaklık bağıntısı geçerlidir; burada A açısı, binanın tepesinin gözlem noktasındaki açısal yük-.sekliğidir ve topografya aygitlarıyla kolayca ölçülebilir; bu açının tanjantı tablodan bulunur ve bina tabanına uzaklık da bilindiğinden yukarıdaki bağıntı yardımıyla binanın yüksekliği bulunur. Ayrıca bak. tanjant. Bir açının trigonometrik fonksiyonlan arasında yukarıda verilen ve tanımlardan elde edilen bağıntıların yanı sıra başka bağıntılar da vardır. Bunların en önemlisi sin2 A + cos2 A = 1 eşitliğidir. Ayrıca bir açının trigonometrik fonksiyonlarını başka açıların fonksiyonlan cinsinden veren çeşitli bağıntılar vardır. Bir açının sinüs ve kosinüsünü bu açının yarısının sinüs ve kosinüsü cinsinden veren sin 2A = 2 sin A cos A cos 2A = 1 - 2 sin2 A formülleri ya da iki açının toplam ve farklarının sinüs ve kosinüslerini bu açıların sinüs ve kosinüsleri cinsinden veren sin (A ±B) = sin A cos B ± cos A sin B cos (A±B) = cos A cos B + sin A sin B formülleri örnek olarak verilebilir. Öteki fonksiyonlar için de benzer bağıntılar söz konusudur. Üçgenlerin çözümünde (üçgenin bilinen kenar ve açılarından bilinmeyen kenar ve açılarının bulunması) ise sinüs ve kosinüs teoremlerinden yararlanılır. Herhangi bir (dik üçgen olması gerekmeyen) üçgende A, B ve C açılarının karşılarındaki kenarlar sırasıyla, a, b ve c ile gösterilirse, bu iki teorem,
_a . _ b = c_ sin A s'ınB sin C
cosA=-
2bc
biçiminde ifade edilir.
Küresel trigonometrinin başlangıcı, "trigonometrinin babası" olarak bilinen Nikaialı (İznik) Hipparkhos'a(
) dayanır. Astronominin Antik Çağdaki uygulama alanlarından biri, gün içindeki zamanın ve yıl içinde hangi dönemde bulunulduğunun yıldızların konumlan gözlenerek belirlenmesiydi. Astronomlar bu amaçla yıldızlar arasındaki açısal uzaklıkları belirleyerek bunlan tablolar biçiminde düzenlemişlerdi. Hipparkhos gökküre üzerindeki büyük çember yayları ile bu yaylara karşılık gelen kiriş uzunlukları arasındaki ilişkiyi sistemli bir biçimde inceledi ve ilk kez bir kiriş değerleri tablosu (modern gösterimle, A açılanna karşılık gelen 2sin AI2 değerleri tablosu) düzenledi.
İskenderiyeli astronom
Ptolemaios (İS 2. yy)
Hipparkhos'un yay ve kirişlere ilişkin hesaplarını sürdürdü ve geliştirdi.
Eski Yunan trigonometrisi doruk noktasına Ptolemaios ve onun büyük yapıtı
Almagest ile ulaştı. Küresel üçgenlerin açılan ile kenarla-n arasındaki ilişkileri ortaya koyan Ptolemaios'un bulguları modern trigonometrinin birçok temel bağıntısını içerir; bu bulgular arasında iki açının toplamının sinüsünü ve bir açının iki katının sinüsünü veren formüllere eşdeğer bağıntılar da yer almaktaydı.
ßaya ßir uzun çalışmanızı isterim kolay gelsin ßaşarılar...
üçgenler söz konusudur.
Sponsorlu Bağlantılar
% 0° ile 90° arasında olan bir dik üçgenin (düzlemsel bir üçgende iç açıların toplamı 180° olduğu için) öteki açısı 90—,4'ya eşittir. Böyle bir üçgende dik açının karşısındaki kenar hipotenüs, /Tnın karşısındaki kenar karşı kenar, A 'ya komşu olan kenar ise komşu kenar olarak adlandırılır. Bu kenarlar birbirlerine ikişer ikişer altı farklı biçimde oranlanabilir, böylece A açısının trigonometrik fonksiyonları tanımlanmış olur; bunlar sinüs (kısaltılmış biçimi sin), kosinüs (cos), tanjant (tan ya da tg), sekant {sec), köse kant (esc) ve kotanjant (cot) olarak adlandırılır._ A _ komşu kenar A hipotenüs
Sin A- kar§l kenar hipotenüs '
tan A kar§! ^enar ccc A - hipotenüs
komşu kenar komşu kenar
çsc A=
karşı kenar
cöt A - k°mşu kenar CO1
" karşı kenar
Bu tanımlardan görülebileceği gibi, bu fonksiyonlar arasında, tan A= sin Al cos A, cot A = 1/ tan A = cos Al sin A, sec A— 1/ cos A, esc A= l/sin A ilişkileri vardır. Trigonometrik fonksiyonların değişik açılar için değerleri tablolar biçiminde verilmiştir, topografya ve öteki mühendislik uygulamalarında bu tablolardan yararlanılır. Böyle bir uygulamaya çok yalın bir örnek olmak azere bir binanın yüksekliğinin bulunması problemini göz önüne alalım. Binanın, üzerinde kurulu olduğu araziye dik olarak yükseldiği kabul edilerek, köşelerinden biri binanın tabanında, öbür köşesi arazi üzerinde ve bina tabanından belirli bir uzaklıkta, üçüncü köşesi de binanın tepesinde olan bir idik üçgen göz önüne alınabilir. Bu üçgende tan A = karşı kenar binanın yüksekliği komşu kenar ~ bina tabanına uzaklık bağıntısı geçerlidir; burada A açısı, binanın tepesinin gözlem noktasındaki açısal yük-.sekliğidir ve topografya aygitlarıyla kolayca ölçülebilir; bu açının tanjantı tablodan bulunur ve bina tabanına uzaklık da bilindiğinden yukarıdaki bağıntı yardımıyla binanın yüksekliği bulunur. Ayrıca bak. tanjant. Bir açının trigonometrik fonksiyonlan arasında yukarıda verilen ve tanımlardan elde edilen bağıntıların yanı sıra başka bağıntılar da vardır. Bunların en önemlisi sin2 A + cos2 A = 1 eşitliğidir. Ayrıca bir açının trigonometrik fonksiyonlarını başka açıların fonksiyonlan cinsinden veren çeşitli bağıntılar vardır. Bir açının sinüs ve kosinüsünü bu açının yarısının sinüs ve kosinüsü cinsinden veren sin 2A = 2 sin A cos A cos 2A = 1 - 2 sin2 A formülleri ya da iki açının toplam ve farklarının sinüs ve kosinüslerini bu açıların sinüs ve kosinüsleri cinsinden veren sin (A ±B) = sin A cos B ± cos A sin B cos (A±B) = cos A cos B + sin A sin B formülleri örnek olarak verilebilir. Öteki fonksiyonlar için de benzer bağıntılar söz konusudur. Üçgenlerin çözümünde (üçgenin bilinen kenar ve açılarından bilinmeyen kenar ve açılarının bulunması) ise sinüs ve kosinüs teoremlerinden yararlanılır. Herhangi bir (dik üçgen olması gerekmeyen) üçgende A, B ve C açılarının karşılarındaki kenarlar sırasıyla, a, b ve c ile gösterilirse, bu iki teorem,
_a . _ b = c_ sin A s'ınB sin C
cosA=-
2bc
biçiminde ifade edilir.
Küresel trigonometrinin başlangıcı, "trigonometrinin babası" olarak bilinen Nikaialı (İznik) Hipparkhos'a(
) dayanır. Astronominin Antik Çağdaki uygulama alanlarından biri, gün içindeki zamanın ve yıl içinde hangi dönemde bulunulduğunun yıldızların konumlan gözlenerek belirlenmesiydi. Astronomlar bu amaçla yıldızlar arasındaki açısal uzaklıkları belirleyerek bunlan tablolar biçiminde düzenlemişlerdi. Hipparkhos gökküre üzerindeki büyük çember yayları ile bu yaylara karşılık gelen kiriş uzunlukları arasındaki ilişkiyi sistemli bir biçimde inceledi ve ilk kez bir kiriş değerleri tablosu (modern gösterimle, A açılanna karşılık gelen 2sin AI2 değerleri tablosu) düzenledi.
İskenderiyeli astronom
Ptolemaios (İS 2. yy)
Hipparkhos'un yay ve kirişlere ilişkin hesaplarını sürdürdü ve geliştirdi.
Eski Yunan trigonometrisi doruk noktasına Ptolemaios ve onun büyük yapıtı
Almagest ile ulaştı. Küresel üçgenlerin açılan ile kenarla-n arasındaki ilişkileri ortaya koyan Ptolemaios'un bulguları modern trigonometrinin birçok temel bağıntısını içerir; bu bulgular arasında iki açının toplamının sinüsünü ve bir açının iki katının sinüsünü veren formüllere eşdeğer bağıntılar da yer almaktaydı.
ßaya ßir uzun çalışmanızı isterim kolay gelsin ßaşarılar...
