Çarpan Ağacı

Çarpan ağacı matematikte önemli yer alır, bir sayının hangi sayıların çarpımından oluştuğunu büyükten küçüğe doğru sıralar. Her sıradaki elemanlar çarpıldığında baştaki sayıyı verecektir. Bu işlemi asal çarpanlarına kadar devam ettirebiliriz .
Çarpan ağacı bir doğal sayının çarpanları, bölenleri ve katları nasıl bulunur evvelki konumuzda öğrendik. Şimdi ise esas sayılar nedir, bir sayı esas çarpanlarına nasıl ayrılır, çarpan ağacı ve bölen listesi nasıl yapılır öğreneceğiz.
ESAS SAYILAR
1 ve kendisinden yabancı hiç bir sayma sayısına tam bölünemeyen 1'den büyük doğal sayılara esas sayı denir. Başka bir anlatım ile çarpanları yalnızca 1 ve kendisi meydana gelen 1'den büyük doğal sayılardır. 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29... sayıları birer esas sayıdır.

ÖRNEK: 2, 5, 4, 15 sayılarından hangileri asaldır bulalım. 2 sayısı yalnızca 1 ve 2'ye kalansız bölünür. Bu yüzden esas sayıdır. 5 sayısı yalnızca 1 ve 5'e kalansız bölünür. Bu yüzden esas sayıdır. 4 sayısı 1'e, 2'ye ve 4'e kalansız bölünür. Bu yüzden esas sayı değildir. 15 sayısı 1'e, 3'e, 5'e ve 15'e kalansız bölünür. Bu yüzden esas sayı değildir.

ERATOSTHENES KALBURU 10 x 10'luk bir 100'lük tabloda 1'den 100'e denli meydana gelen esas sayıları bulabiliriz. Bunun amaçlı yapmamız gerekli meydana gelen ilk satırdaki esas sayıların kendileri dışındaki katlarına çarpı koymak. Geriye artan sayılar esas sayılardır.

Asal çarpanlara ayırma Bir doğal sayıyı esas çarpanlarına bölmek amaçlı iki yol kullanabiliriz. Bunlar çarpan ağacı ve bölen listesidir.

Çarpan ağacı: Çarpan ağacı nedir, nasıl yapılır görelim. Bir sayıyı iki sayının çarpımı biçimde yazarız (en minik esas sayıdan başlayabiliriz). ileri ki zamanlarda bulduğumuz sayıları esas sayı olana denli bu işleme devam ederiz. Meydana Gelen dalların uçlarındaki sayılar sayımızın esas çarpanlarıdır.

Not: Çarpan ağacında dalların uçlarındaki esas sayıların çarpımı, çarpanlarına ayırdığımız sayıyı verir.

Örnek: 36 sayısını çarpan ağacı kullanarak esas çarpanlarına ayıralım. 36 sayısının çarpanları : 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36'dır. Bunu bir sayının çarpanları konumuzda öğrenmiştik. Bu sayılardan esas sayı olanları esas çarpanlarımızdır.

ÖRNEK: 60 sayısını çarpan ağacı kullanarak esas çarpanlarına ayıralım. 60 sayısının çarpanları : 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 ve 60'tır. Bunu bir sayının çarpanları konumuzda öğrenmiştik. Bu sayılardan esas sayı olanları esas çarpanlarımızdır.

• SORU: Aşağıdaki çarpan ağaçlarında verilmeyen A, B ve C sayılarını bulunuz.
• ÇÖZÜM: Birinci çarpan ağacı örneğini beraber yapalım, artan çarpan ağacı örnekleri sizin olsun. Çarpan ağacında her sayı altındaki sayıların çarpımına eşittir. Alttan başlayarak A = 2.2 = 4 B = 2.4 = 8 C = 5.8 = 40 bulunur.