ASAL ÇARPANLAR

Bir sayının çarpanlarından asal olanlarına bu sayının asal çarpanları denir. ÖRNEK: 75 sayısının asal çarpanlarını bulalım. 75 sayısının tüm çarpanlarını yukarıda öğrendiğimiz yöntemle 1, 3, 5, 15, 25, 75 olarak buluruz. Bu çarpanlar arasında asal sayı olanlar 3 ve 5 olduğu için 75'in asal çarpanları 3 ve 5'tir. Sayıların asal çarpanlarını bulmayı ve bir sayıyı asal çarpanlarının çarpımı şeklinde yazmayı aşağıdaki iki yöntemle yapabiliriz.

ÇARPAN AĞACI

Çarpan ağacı nedir, nasıl yapılır görelim. Bir sayıyı iki sayının çarpımı şeklinde yazarız (en küçük asal sayıdan başlayabiliriz). Daha sonra bulduğumuz sayıları asal sayı olana kadar bu işleme devam ederiz. Oluşan dalların uçlarındaki sayılar sayımızın asal çarpanlarıdır. NOT: Çarpan ağacında dalların uçlarındaki asal sayıların çarpımı, çarpanlarına ayırdığımız sayıyı verir. Bir sayıyı bu şekilde yazarsak asal çarpanlarının tabanlarda bulunduğu üslü ifadelerin çarpımı şeklinde yazmış oluruz.

ÖRNEK:
36 sayısını çarpan ağacı kullanarak asal çarpanlarına ayıralım. 36 sayısının çarpanları : 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36'dır. Bunu bir sayının çarpanları konumuzda öğrenmiştik. Bu sayılardan asal sayı olanları asal çarpanlarımızdır. 36 sayısının asal çarpanları: 2 ve 3'tür. Şimdi bunu çarpan ağacı ile bulalım:

36 sayısının asal çarpanlarının çarpımı şeklinde yazılmış hali 36 = 22 . 32 'dir.

ÖRNEK:
60 sayısını çarpan ağacı kullanarak asal çarpanlarına ayıralım. 60 sayısının çarpanları : 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 ve 60'tır. 60 sayısının asal çarpanları: 2, 3 ve 5'tir. Şimdi bunu çarpan ağacı ile bulalım:

60 sayısının asal çarpanlarının çarpımı şeklinde yazılmış hali 60 = 22 . 3 . 5 'tir.

SORU:
Aşağıdaki çarpan ağaçlarında verilmeyen A, B ve C sayılarını bulunuz. ÇÖZÜM: Birinci çarpan ağacı örneğini birlikte yapalım, kalan çarpan ağacı örnekleri sizin olsun. Çarpan ağacında her sayı altındaki sayıların çarpımına eşittir.
Alttan başlayarak
A = 2.2 = 4
B = 2.4 = 8
C = 5.8 = 40 bulunur.

BÖLEN LİSTESİ (Asal Çarpanlar Algoritması)

Bölen listesi nedir, nasıl yapılır görelim. Sayımızın yanına dikey bir çizgi çekeriz ve en küçük asal sayıdan başlayarak ve tam bölünmediğinde bir sonraki asal sayıya geçerek bölme işlemi yaparız. 1'i elde edince işlemimiz sona erer. Çizginin sağında kalan sayılar sayımızın asal çarpanlarıdır.

NOT: Bölen listesinde çizginin sağındaki asal sayıların çarpımı, çarpanlarına ayırdığımız sayıyı verir. Bir sayıyı bu şekilde yazarsak asal çarpanlarının tabanlarda bulunduğu üslü ifadelerin çarpımı şeklinde yazmış oluruz.

ÖRNEK:
36 sayısını bölen listesi ile asal çarpanlarına ayıralım. 36 sayısını 2'den başlayarak asal sayılara sırayla bölüyoruz. 1'i elde ettiğimizde çizginin sağ tarafında kalan sayılar 36'nın asal çarpanlarıdır. 36 sayısının asal çarpanları 2 ve 3'tür. Çizginin sağ tarafındaki sayıları çarparak 36 sayısını elde edebiliriz. 36 sayısının asal çarpanlarının çarpımı şeklinde yazılmış hali


SORU: Aşağıdaki bölen listelerinde verilmeyen A, B ve C sayılarını bulunuz.

ÇÖZÜM:
Birinci bölen listesi örneğini birlikte yapalım, kalan bölen listesi örnekleri sizin olsun. Bölen listesinde soldaki sayıyı sağındaki sayıya böleriz, çıkan sonucu altına yazarız.
Alttan başlayarak
A : 3 = 5 olacağı için A = 15
B : 2 = 15 olacağı için B = 30
C : 2 = 30 olacağı için
A = 60 bulunur.